库塔-儒可夫斯基定理(Kutta–Joukowski theorem)是空气动力学的基本定理,计算机翼或是二维物体(例如圆柱)在均匀流体中的升力,且此流场的速度够快,使物体的速度场是稳定及无分离的。定理显示出,机翼产生的升力与机翼通过流体的速度、流体密度以及环量有所关联[1]。库塔-儒可夫斯基定理得名自德国科学家马丁·威尔海姆·库塔及俄国科学家尼古拉·叶戈罗维奇·茹科夫斯基,他们在二十世纪初首次提出这様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考虑压力及升力的无粘性理论,不过在典型的空气动力学应用中,可以用来模拟实际的黏性流。
对于围绕机翼的流体,环量被定义为与闭合回路相切的“流体切线速度的线积分”[2],其速度的大小及方向会沿著路径而改变。
库塔-儒可夫斯基定理建立升力和环量的关系,类似马格努斯效应建立旋转和侧向力的关系一样[1]。不过此处的环量不是因为机翼的旋转而产生,而是因为以下提及的机制而产生。由于机翼的存在,气流的变化可以视为平移流场及旋转流场(涡旋)的叠加。此旋转流是由翼型的外倾角、攻角及锐利的后缘角所产生,不同于外形像龙卷风的涡旋。若离机翼够远时,旋转流可以视为是由涡旋所引发的,涡旋的中心线平行二维平面。在描述机翼的库塔-儒可夫斯基定理时,一般会假设机翼是圆柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。
此定理和在二维流场中的翼型(或是翼展无穷大的圆柱)有关,可以计算单位翼展下的升力。当环量
已知,其升力
除以翼展下的单位翼展升力(或表示为
)可以表示为以下的方程式[3]:
![{\displaystyle L^{\prime }=-\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma ,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0a21fd21eca19e5e06c7cf850f0eb3b36740f9) | | 1 |
其中
及
分别为流体密度及在翼型上游,远离翼型位置的流体速度,
为以下线积分定义的环量(逆时针为正值)
![{\displaystyle \Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \;ds\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a635eed239763f36fcb4b07fc07105c75fa4520b)
上述环量是沿著一个封闭围道
进行,此围道包覆著翼型或是圆柱,且沿著其正方向(逆时针)进行。其路径需在位流的范围内,不能在圆柱的边界层内。被积分式
是局部流体速度沿著曲线
切线方向的分量,且
为曲线
的无穷小面积。方程式(1)是库塔-儒可夫斯基定理中的一个形式。
Kuethe和Schetzer用以下的话描述库塔-儒可夫斯基定理:[4]
- 任意截面积的柱形物体,其单位长度的受力等于
,方向和
垂直。
在使用库塔-儒可夫斯基定理时,需注意环量
的计算。
一个产生升力的翼型或者具有弯度,或者是在均匀的流体中以一定攻角
(机翼弦线和平移方向的角度)平移。而且翼型需要有一个锐利的后缘。上述条件类似鸟的翅膀,有锐利的后缘,有弯度,在天空中有一定的攻角。
实际的流体是有黏性的,流体速度在翼型边缘为零,因此若考虑黏性流体,且以翼型形状为围道计算环量,其环量也为零。甚至由翼形上方及下方的流体会在后缘相会,而黏滞耗散会使流体不旋转。这称为真实流场的库塔条件。普朗特发现若雷诺数
够大,攻角够小,翼型够薄,则流场可以分为靠近机翼小区域的黏滞层(称为边界层),以及其他区域的非黏性流。
库塔和儒可夫斯基发现在计算雷诺数够大,攻角够小,厚度够薄的翼型之压力和升力时,若假定已考虑库塔条件,可以假设整个流场是非黏性流。这称为位流理论,在实务上结果相当接近。在非黏性流施加库塔条件相当于计算环量。
简单来说,类似鸟翅膀的机翼自然会产生升力,在飞行中的流场满足库塔条件。若使用位流理论(在计算压力及升力时假设是非黏性流及无旋转流,计算阻力时用普朗特边界层来近似),要求飞行时间符合库塔条件,会得到一个由=库塔-儒可夫斯基定理和环量产生的升力,和实际的升力非常接近。
以下有二种推导方式,第一个是基于物理的直觉,较启发式的推导,第二种是比较正式及技术式的推导,需要用到向量分析及复变分析的知识。
以较启发式的说法,考虑一个薄的机翼,其翼弦为
,有无限长的翼展,在密度为
的空气中移动。令翼和气流有一个攻角,使翼的一侧的气流速度为
,另一侧的气流速度为
,因此其环流为
![{\displaystyle \Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94583abe34b9e07abb0476a6f00b2ce1d05422a4)
机翼两侧的压力差
可以由伯努利定律求得
![{\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9717c80f9ee5d46dc0f5ff4b40c57bf181db4ddc)
![{\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74480d34e37123a3bbff7660da641ec0d63fb57)
![{\displaystyle \Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05da6fad66db48a8d6ae4f6716a2abfe5bbe65dd)
因此单位翼展的浮力为
![{\displaystyle L=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f610a27acaa77cf5d25a0ca92f235008f99dd07)
此理论的微分版本可应用在机翼中的每一个元素,也是薄翼理论(thin-airfoil theory)的基础。
库塔-儒可夫斯基定理的正式推导
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首先先计算任何截面积、单位长度的长条物体在流体中的受力[5]。先令单位长度的力(以下简称为力)为 ,因此总受力为:
![{\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2bbc7a552c7f5ef46050c5e102237c232a3441)
其中C为长条物体的边缘、 为流体的静压、 为和长条物体表面垂直的单位向量、ds是截面积边缘的弧状元素。令 为法向量和垂直的夹角,上述力的分量为:
![{\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100286c4e90891c3e770242b9481769108c71cfe)
以下是重要步骤:将上述的二维空间当作复数平面,每个向量可以用复数表示,第一个分量对应其实部数值,第二个分量对应其虚部数值,因此上述的力可以表示为:
![{\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f629bcb198245305db2867d34272f04089733281)
下一步是取力 的共轭复数,再做一些处理:
![{\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60877a3bb77d8e6a97b0c867c0b2195130c0de95)
表面元素ds和dz的变化有关:
![{\displaystyle dz=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\qquad \Rightarrow \qquad d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95f9f0e2aebe2a4feb5604f09e3e78dfae7820e)
将这些代入积分中,可得:
![{\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724574a070fec5c7361c3a73607dd51169564521)
接下来为了将压力移出积分以外,应用伯努利定律。假设没有其他外在的力场,流体的质量密度为 ,压力 和速度 有以下的关系:
![{\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7b5303c6993b55f1eff7d4484641086c1cc3c8)
将上式代入力的积分式,可得:
![{\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bcc503e86e9a82982f191c7d7b2e8b7e7c74a1)
还剩下一个步骤要进行:引入 ,流场的复变势函数,和速度分量的关系是 ,其中撇号表示对复数变数z的微分。速度会相切于边缘C,因此 ,则 ,受力的表示式可以改写为下式:
![{\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a13a9cc280d2c747fe5e48d08d8cb2b92205155)
称为布拉乌斯-恰普雷金公式([Blasius–Chaplygin formula)。
若要得到库塔-儒可夫斯基定理,需计算上述积分的值,根据复变分析可知,一个全纯函数可以用洛朗级数来表示,根据此问题的物理特性,复变势函数 的微分会如以下所示:
![{\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24cafd9a56de8284ddbfee5375cdf739afb9ec1)
因为在无穷远处的速度为有限值,此函数没有其他高阶项。因此 即为此函数在无穷远处的导数: .
下一个任务是找出 的意义,根据留数定理可得
![{\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22d145f9dac760639af758e12dce4f0bc2c5827)
再计算以下的积分:
![{\displaystyle \oint _{C}w'(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74838a4954d55f380f8e0d9913d1b9ed37c3b2fe)
第一个积分即为环量,可以用 表示,第二个积分可以用以下方式计算:
![{\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d57f90af563b061733d7dd5a82f6f1d785de6c3)
此处 为流函数,因为边界C本身即为流线,因此在上面流函数不会变化,即 ,因此第二个积分为零,因此:
![{\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f1c3bf75eb1d4a3a7e8737ae580cd3ecdb59aa)
复变势函数取平方:
![{\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ab8215a0b8893ac7c84eb42c3347c1c5c627cd)
将上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中,利用留数定理算积分:
![{\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54e51843598a75879a3f867750aa2e6357c3c07)
因此库塔-儒可夫斯基定理为:
![{\displaystyle F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb218d068bf985b214c0a64172421a4754bbcea)
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库塔-儒可夫斯基定理预测的升力是以无粘性流的势流理论为基础,但若流场是稳定且无分离的,库塔-儒可夫斯基定理的结果很接近实际的黏性流[6]。
在推导库塔-儒可夫斯基定理时,有假设流场是无旋转流,若在物体外有自由涡流,就像许多不稳定流的情形,此流场为旋转流,在推导升力时就需要一些更复杂的理论。
- 小攻角下突然启动的流场:若是机翼突然加速,或是攻角较小的情形下突然启动的流场,在机翼后缘会连续的出现涡片泄离,此时的升力是时变不稳定的。若是小攻角下启动的流场,涡片会延著平面的路径,升力系数的曲线会随时间而变化,其形式会是Wagner函数[7]。此时最终升力会如同库塔-儒可夫斯基定理所预测的一样,但初升力只有最终升力的一半[8]。当机翼前进七倍翼弦的距离时,其升力才会达到最终升力的90%。
- 大攻角下突然启动的流场:若攻角够大的话,机翼后缘的涡片一开始会是螺旋形的,理论升力在一开始会是无限大[9]。一般认为升力的曲线是随时间单调递增的,但在大攻角下,会有一段很短暂的时间会有升力下降的情形。
- 大攻角下启动,有锐利的机翼前缘:若针对一片平粄,也有锐利的前缘,涡片泄离会出现在前缘,而前缘的涡片泄离有二种不同的效果:
- 1.若仍接近前缘,可以提升Wagner升力曲线,可以增加升力。
- 2.若前缘的涡片泄离和后缘有关,引入新的后缘螺旋形涡片,延著升力增加的方向移动,则会破坏升力。
- 对于这种流场,涡升力线(VFL)图[10]可以用来了解不同情形下涡流带来的效果(包括流场启动及其他的条件),也可以控制涡流以增强或降低升力。涡升力线图是一个二维的图,其中会绘出涡升力线,其对升力的贡献和其速度、环量及涡升力线和流线的馀弦成正比,因此涡升力线可以看出涡流对升力的提升或破坏程度。
- Lagally定理:若在机翼外面有固定的涡源,其对升力的修正可以表示为涡源的强度,及因其他因素造成涡源处诱导速度,这称为Lagally定理。[11]。
- 针对二相的非黏性流,传统的库塔-儒可夫斯基定理预测阻力为零,不过若机翼外有涡源,会产生阻力,其形成原因类似升力。
- ^ 1.0 1.1 Lift on rotating cylinders. NASA Glenn Research Center. 2010-11-09 [2013-11-07]. (原始内容存档于2014-01-11).
- ^ Anderson, J.D. Jr., Introduction to Flight, Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)
- ^ Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5
- ^ A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 4.9 (2nd ed.)
- ^ Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, p 406
- ^ Anderson J Fundamentals of Aerodynamics, Mcgraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering, McGraw-Hill Education, New York 2010
- ^ Wagner H Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflueln. Z. Angew. Math. Mech.1925, 5, 17.
- ^ Saffman PG Vortex dynamics, Cambridge University Press, New York, 1992 .
- ^ Graham JMR,The lift on an aerofoil in starting flow |publisher= Journal of Fluid Mechanics, 1983, vol 133, pp 413-425
- ^ Li J and Wu ZN. Unsteady lift for the Wagner problem in the presence of additional leading trailing edge vortices. Journal of Fluid Mechanics, 2015, Vol 769, pp 182 - 217.
- ^ Milne-Thomson LM Theoretical Hydrodynamics[p226], Macmillan Education LTD, Hong Kong.1968
- Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
- Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
- A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3