费雪法 (统计学)

以费雪法合并两个p值（P₁与P₂）。例如，当P₁与P₂皆为0.1时，合并之p值约为0.05。颜色最深的区域表示整体p值小于0.05。

费雪法（英语：Fisher's method），或称费雪合并机率检验（英语：Fisher's combined probability test）是统计学中用于合并多个p值的方法，由罗纳德·爱尔默·费雪所创，常应用于元分析。其基本形式是结合源于同一个虚无假设（H₀）之下多个独立性检验的结果。

应用

费雪法用于结合各个检验的极端值机率（即p值）成一个卡方统计量：

$X_{2k}^{2}\sim -2\sum _{i=1}^{k}\ln(p_{i})$，

其中p_i为第i个检验之p值。当p_i较小则卡方统计量X²较大而拒绝整体虚无假说。

若所有的虚无假说皆为真，且p_i（或各统计检验量）皆相互独立，则X²服从自由度为2k的卡方分布，其中k表示所有参与的假说检定个数。按此可以取得联合检验之p值，即对多个p值进行合并。

此卡方统计量的分布服从卡方分布的原因是：对于每一个统计检验i，其p值（p_i）服从界于0至1的均匀分布。均匀分布取自然对数的相反数又服从指数分布。指数分布乘2又服从自由度为2的卡方分布。最终，k项独立的卡方统计量（每项自由度为2）之总和服从自由度为2k的卡方分布。

独立性前提的限制

当各检验不独立时，X²偏大、整体p值偏小使推论过份偏好对立假说。因此，在不独立的统计检验量间使用费雪法时，若整体p值较大较无所谓；但若整体p值很小则可能发生型一错误。

独立性前提的扩展

主条目：费雪法的扩展

在统计检验不相互独立时，X²的虚无分布并不单纯。常见的策略是采用缩放过的卡方随机变数近似虚无分布。若已知p值间的共变异数，亦存在其它近似方法。

以布朗法为例，该方法可用于结合二个相依p值，当其统计检定量为共变异数矩阵已知的多元常态分布。此外，科斯特法扩大了布朗法的条件：共变异数矩阵由已知扩展至未知但具纯量乘法常数即可。

在相依结构未知时，调和平均p值可以代替费雪法，但仍不可假设检验相互独立。

结果解读

费雪法通常用于一系列相互独立的统计检验，例如是具有相同虚无假说的各别研究。这与元分析的虚无假说经常是各别的虚无假说皆为真的情况相符。因此，费雪法结果若支持对立假说，则可解读为至少存在一个对立假说为真。

在某些情况下，考虑各研究的“异质性”是有意义的，特别是某些研究支持虚无假说但某些支持对立假说，或是不同研究具有不同的对立假说。不同的对立假说形成的异质性可能是源于效果量在不同研究间不均。例如，考虑一系列针对葡萄糖摄取量对罹患第2型糖尿病的风险之研究，由于各研究间的对象存在遗传或环境上的差异，特定葡萄糖摄取量所对应的罹患风险在各研究间亦可能不同。

在各别对立假说是全真或全伪的情况下，例如检验某种物理定律，单独研究或实验的结果若不一致则是偶然造成的，例如存在检定力差异。

在元分析中若采用双尾检验，即使部分各别研究指出存在强烈但方向不等的效果，仍可能拒绝整体虚无假设。在这种情况下，虽然可以解读为至少存在一个研究中的虚无假说为伪，但这并不意味著应支持所有研究的对立假说。因此，双尾元分析对对立假说中的异质性特别敏感。采用单尾检验的元分析可以检测效果量的异质性，但侧重于单一且预先指定的影响方向。

与斯托夫Z值法的关系

斯托夫Z值法与费雪法的关系以z与−log(p)的关系表示。

斯托夫Z值法（由社会学家山缪·安德鲁·斯托福所创）与费雪法的作用相似，但前者可纳入不同研究间具有不同的权重。

令Z_i  =  Φ ^− 1(1−p_i)，其中Φ为标准常态分布的累积分布函数，则

$Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}w_{i}Z_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{k}w_{i}^{2}}}}$

称为元分析的整体Z值，其中w为各研究的权重。

由于费雪法基于“平均p值”而斯托夫Z值法基于“平均z值”，二者的关系遵循z与−log(p) = −log(1−Φ(z))的关系。在常态分布之下，二者并非线性关系，但z值经常存在的范围（1至5）之内的关系较线性。因此，二种方法的检定力通常很接近。

相关条目

• 费雪法的扩展

外部链接

• metap （页面存档备份，存于互联网档案馆） R套件.