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伯特兰定理

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约瑟·伯特兰

经典力学里,伯特兰定理阐明,只有两种位势可以给出闭合轨道[1]

其中,是径向坐标,是正值常数。假若物体从某位置移动,经过一段路径后,又回到原先位置,则称此路径为闭合轨道

1687年,物理学家艾萨克·牛顿在著作《自然哲学的数学原理》里提出了万有引力定律,解释了行星绕着太阳的公转为何遵守开普勒定律。此后许多科学家开始研究,当行星的运动稍许偏离了这轨道时,可能会发生的状况。其中一个问题为轨道是否仍旧闭合。但经过多年的探讨亦无法给出合理的解答。直到1873年,法国数学家约瑟·伯特兰发表伯特兰定理,才正确解析此问题。该定理对于经典天体力学研究非常重要,伯特兰定理给予实验者一个精确的方法,来测试万有引力的平方反比性质。

在现代物理学里,理论物理学家发现由于广义相对论效应,引力与距离不再成精确的平方反比关系,因此轨道是非闭合的。天文学家作实验观测到,水星绕着太阳公转的椭圆轨道,其近拱点呈缓慢进动状态。

前论

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所有吸引性有心力都可以产生圆形的公转轨道;这圆形轨道当然是闭合轨道;其形成的唯一条件是有心力恰巧地与离心力等值;后者决定了维持某圆形半径所需的角速度。本篇文章不研究非有心力。一般而言,非有心力不会产生圆形的公转轨道。

采用极坐标,一个移动于连心势的粒子,其拉格朗日量

其中,是粒子质量,分别表示对于时间的导数。

这粒子的拉格朗日方程

由于角坐标显性地跟拉格朗日量无关,是个可略坐标,其共轭动量角动量守恒,是个常数:

将角动量的方程代入径向拉格朗日方程,可以得到一个的二次微分方程

假设轨道是圆形轨道,方程左手边第一个项目是零,则如同期待的,有心力等值于离心力

对于时间的导数与对于角变数的导数之间关系为

将这公式代入,可推导出一个跟角度有关,跟时间无关的轨道方程:

设定变数,改换方程的变数为,同时将方程两边乘以,可以得到一个常系数非齐次线性全微分方程

导引

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如同前面所说,给予粒子适当的初始速度,任何有心力都能产生标准圆形轨道。可是,假设给予粒子某径向速度,则这些轨道可能不稳定(稳定在这里定义为长久地公转于同一条轨道),也可能不闭合。本段落会证明,稳定的闭合轨道只发生于平方反比连心势或径向谐振子势(一个必要条件)。下一个段落会证明,这些位势的确会产生稳定的闭合轨道(一个充分条件)。

为了简化标记,设定

(1)

其中,是有心力函数。

则轨道方程为

如果要得到半径为的圆形运动轨道,必要条件是轨道方程左边第一项等于零,方程变为

思考对于标准圆形运动轨道的变数摄动,函数泰勒级数

将此展开示代入轨道方程:

设定常数的解答为标准圆形运动轨道):

(2)

取至的1次方:

必须是个非负数;否则,轨道的半径会呈指数方式递增。一阶摄动解答为

其中,振幅是个积分常数。

假若这轨道是闭合轨道,则必须是有理数。继续运算,从方程(1),取对于的导数:

这方程对于任意值都必须成立,因此可以将认定为函数的参数。用符号来代替

将方程的变数换回为

这意味著作用力必须遵守幂定律

代入方程 (1) , 的一般形式为

(3)

假设实际轨道与圆形有更大的差别(也就是说,不能忽略函数的泰勒级数的更高次方项目),则可以用傅里叶级数来展开

因为高频率项目的系数太小,傅里叶级数只取至项目。方程 (2)也只取至的三次方。注意到的数量级为,超小于的数量级为,超小于。将上述傅里叶级数代入方程 (2),匹配方程两边同频率项目的系数。这样,可以得到一系列方程:

(4)
(5)
(6)

对于的微分:

(7)
(8)

将方程(7)、(8)代入方程(4)、(6):

(9)
(10)

再将方程 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程 (5),经过一番运算,可以得到伯特兰定理的重要结果:

解答是标准圆形轨道。只有平方反比连心势 ()与径向谐振子势 ()能够造成稳定的,闭合的,非圆形的公转轨道。

平方反比力(开普勒问题)

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平方反比有心力给出的连心势,像重力势或静电势,以方程表示为

处于这种连心势的粒子,其一般轨道方程写为

其解答为轨道函数

其中,是椭圆轨道的离心率是相位差,是一个积分常数。

这是焦点位于原点的圆锥曲线的一般方程。当时,这轨道对应于圆形轨道; 当时,这轨道是椭圆形轨道;当时,这轨道是抛物线轨道;当时,这轨道是双曲线轨道。

离心率与粒子能量的关系为

所以,当时,这轨道是圆形轨道; 当时,这轨道是椭圆形轨道;当时,这轨道是抛物线轨道;当时,这轨道是双曲线轨道。

径向谐振子

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为了方便解析这问题,采用直角坐标。势能可以写为

处于径向谐振子位势的粒子,其拉格朗日量

这粒子的拉格朗日方程为

其中,是振动频率

常数必须为正值;否则,粒子会朝着无穷远飞离。这些微分方程的解答为

其中,分别为x、y、z方向的振幅,分别为其相位

由于上述方程经过整整一周期后,会重复自己,轨道解答是闭合轨道。

牛顿旋转轨道定理

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牛顿旋转轨道定理表明,对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子,假设再增添立方反比力于此粒子,只要因子有理数,则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据牛顿旋转轨道定理的方程,增添的立方反比力

其中,是粒子原本的角动量,是粒子的质量。

所以,

由于是有理数,可以写为分数;其中,都是整数。对于这案例,增添立方反比力使得粒子完成圈公转的时间等于原本完成圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理,因为,增添的立方反比力与粒子的原本角动量有关。

参阅

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参考文献

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  1. ^ Bertrand, J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C. R. Acad. Sci. 1873, 77: 849–853. 
Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 (英语). 
Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787 
Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157 
Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449