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2	虎克船长是第一个装有钩子义肢的虚构角色吗？	1	1	Kerolf666	2024-09-03 01:03
3	学校村这个概念除香港和澳门外哪些地区会有？	2	2	CatOnMars	2024-09-05 00:57
4	为什么台湾的学校会教柯西不等式等号成立于“成比例时”呢？	8	2	克劳棣	2024-09-07 13:36
5	{{节删|原作者删除}}	4	2	王桁霁	2024-09-09 21:46

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证明

如何证明三角形内角和是180°.--QWEQQQ（留言） 2024年8月28日 (三) 02:00 (UTC)

请不要在此提出义务教育程度的问题。--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年8月28日 (三) 06:56 (UTC)

用量角器。^{[不开玩笑的]}--WiiUf ——青龙出世，傲视苍穹 的第1000次编辑！ 2024年8月28日 (三) 11:56 (UTC)

无言证明

-游蛇脱壳/克劳棣 2024年8月28日 (三) 15:18 (UTC)

什么叫“无言证明”？--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年8月28日 (三) 16:04 (UTC)

图片内容已提供证明所需的所有资讯，无须在图片外再写任何字的证明。

正弦与余弦函数和角公式的无言证明

---游蛇脱壳/克劳棣 2024年8月28日 (三) 16:43 (UTC)

哦哦懂了。不过三角形用那图证明是完全正确的，但两角和的正弦公式、两角和的余弦公式（大陆叫这个名字）用图证明还不严谨（只能用于直观显示0＜两角和＜π的情况；图片标题写的也是“illustration”而非“proof”）。--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年8月28日 (三) 16:50 (UTC)

无字证明浅介，可以参考一下，里面的无字证明都很精彩。-游蛇脱壳/克劳棣 2024年8月28日 (三) 17:44 (UTC)

确实精彩。虽然我之前基本都看到过--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年8月28日 (三) 17:49 (UTC)

ok--QWEQQQ（留言） 2024年8月29日 (四) 01:39 (UTC)

@自由雨日：原来中维已经有无字证明条目了。-游蛇脱壳/克劳棣 2024年9月3日 (二) 17:02 (UTC)

学校村这个概念除香港和澳门外哪些地区会有？

具体定义为刻意把几所学校放在一起以村自居，除教育建筑外不设任何设施，然后再共享一些设施，节省土地资源。--S叔 2024年9月4日 (三) 14:32 (UTC)

集美学村----Cat on Mars 2024年9月4日 (三) 16:57 (UTC)

为什么台湾的学校会教柯西不等式等号成立于“成比例时”呢？

以2组数时为例

$(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})-(ab+cd)^{2}$

$=a^{2}b^{2}+a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-a^{2}b^{2}-c^{2}d^{2}-2abcd$

$=a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}-2abcd$

$=(ad-bc)^{2}\geq 0$

等号应该成立于$ad-bc=0$，亦即$ad=bc$时，可是为什么台湾的学校几乎教的都是成立于${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$时（成比例时）呢？

或许有人会认为$ad=bc$与${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$不是一样的嘛？

可是事实上就是不一样，问题在于$b,d$为0时。

$b=d=0$时，$(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})=(ab+cd)^{2}$显然成立，$0\times a=0\times c$也成立，但是${\frac {a}{0}}={\frac {c}{0}}$因为分母为0而无定义。

那么为什么台湾的学校几乎都是教“等号成立于成比例时”呢？

---游蛇脱壳/克劳棣 2024年9月6日 (五) 22:53 (UTC)

先问个题外话，台湾高中会教柯西不等式吗？（大陆高中是不要求掌握柯西不等式的，高考要求范畴内的主教材中似乎只字不提，不过老师可能会讲，但高考禁止使用。）（您的问题，我将会用线性代数知识来回答。）--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月6日 (五) 23:59 (UTC)

会，文组学生(我是文组生)求极值时几乎不是用柯西不等式，就是用算几不等式，再不然就是配方成抛物线求顶点(不用微分求极值，因为没有教)。且文组生通常最多只用到三对数据时的柯西不等式，证明之是用向量。但因为向量我几乎忘光了，所以我是用如上的配方法证明：

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}$

$=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})^{2}\geq 0$

等号成立于$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}=a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}=0$时。

-游蛇脱壳/克劳棣 2024年9月7日 (六) 01:24 (UTC)

“文组学生”是指考“社会”科的学生吗？我之前看过台湾的普通高等学校招生考试，似乎是分科学科和社会科？--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月7日 (六) 02:08 (UTC)

我的高中时期是上个世纪末，距今已经超过四分之一个世纪，很多事都不一样了，所以当我没说好了，这无助于您了解目前台湾的高中数学教育体制。-游蛇脱壳/克劳棣 2024年9月7日 (六) 05:36 (UTC)

答 中学出现的这种“Cauchy不等式”只是Cauchy不等式（Cauchy-Schwarz不等式）在二维Euclid空间$\mathbf {R} ^{2}$（平面）中的特例（刚看到您又举了一个三维空间——即立体——中的特例）．事实上，Cauchy不等式适用于任何维度的Euclid空间$\mathbf {R} ^{n}$，下面来证明这个任意维度的Cauchy不等式：$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}\leqslant (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})$．

任意维度的Euclid空间两向量${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$的标准内积定义为$({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$，显然内积具有正定性$({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\alpha }})\geqslant 0$，故可定义非负实数${\sqrt {({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\alpha }})}}$为该向量的长度，记作$\lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert$．有定理：

• 对某一Euclid空间中的任意两向量${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$，恒有$\left\vert ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert \leqslant \lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert$，且当且仅当${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$线性相关时，等号成立．

（关键词：“线性相关”，这正是您的问题的核心。这里不给出“线性相关”概念的具体定义，只简单说明两个向量的情况：${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$线性相关$\Leftrightarrow$可找到一个实数$k$，满足${\boldsymbol {\alpha }}=k{\boldsymbol {\beta }}$，即$a_{1}=kb_{1},a_{2}=kb_{2},\cdots ,a_{n}=kb_{n}$．）下面证明这一定理：

• 当${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$线性相关时，
  • $\left\vert ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert =\left\vert (k{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert =\left\vert k\right\vert ({\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})$（最后一步利用了内积的线性性，“线性性”易证，故不冗证），
  • $\lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert =\lVert k{\boldsymbol {\beta }}\rVert =\left\vert k\right\vert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert$，
  • 故$\lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert =\left\vert k\right\vert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert ^{2}=\left\vert k\right\vert ({\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})=\left\vert ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert$，取得等号；
• 当${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$线性无关时，对任意实数$t$，$t{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }}\neq {\boldsymbol {\theta }}$（其中${\boldsymbol {\theta }}$表示零向量），则根据正定性：
  • $(t{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }},t{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }})>0$，并进一步根据内积的线性性与对称性（类似乘法分配律）展开得：
  • $t^{2}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\alpha }})+2t({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})+({\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})>0$．得到一个关于$t$的二次函数（恒大于0），故要求二次函数判别式$\Delta <0$，即得：
  • $({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})^{2}-({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\alpha }})({\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})<0$，
  • 即$\left\vert ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert <\lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert$．

至此，定理得证⬛️．该定理应用于Euclid空间$\mathbf {R} ^{n}$即Cauchy不等式（此外，应用于闭区间上连续实函数的Euclid空间还可以得到Schwarz不等式，合称Cauchy-Schwarz不等式）．

【参考书目】陈维新．线性代数 [M]. 2版．北京：科学出版社, 2007: 157-161. 978-7-03-018440-5.--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月7日 (六) 02:06 (UTC)

阁下讲是这样讲，但台湾的老师教的却是“成比例”，但0要如何和其他实数“成比例”？

莫非是认为对于不等式$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}$而言，当$a_{1}=a_{2}=b_{1}=b_{2}=0$时，虽然确实$(a_{3}^{2})(b_{3}^{2})=(a_{3}b_{3})^{2}$（等号成立），但这是trivial solution，所以任何一项是0都不列入考虑？

但trivial solution也是solution，怎能把0排除在外？

所以我不懂台湾的老师为什么会教等号成立的充要条件是“成比例”。-游蛇脱壳/克劳棣 2024年9月7日 (六) 05:06 (UTC)

那就是教得不好呗确切的条件就是线性相关——用中学知识理解的话，就是向量共线或者说α=kβ．--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月7日 (六) 05:13 (UTC)

（节删）

（节删）—— 　桁霁　 ↹　晚来天欲雪，能饮一杯无　　 2024年9月9日 (一) 13:40 (UTC)

？？--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月9日 (一) 13:43 (UTC)

虽然我一直很喜欢吃瓜（包括这类），但请勿在此页……就某个议题发起讨论，此页面仅回答个人不懂的问题。我认为“如何评价……有何建议……”并不属于一个具体“问题”，而已经构成“就某个议题发起讨论”了。--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月9日 (一) 13:45 (UTC)

好的感谢，我立即删除。—— 　桁霁　 ↹　晚来天欲雪，能饮一杯无　　 2024年9月9日 (一) 13:46 (UTC)