杨-米尔斯理论

杨-米尔斯理论是一种基于SU(N)群的规范场论，在数学和物理学中有很重要的应用。例如，粒子物理学的标准模型是一种杨米论，有$G=U(1)\times SU(2)\times SU(3)$的规范。杨米作用量是

${\mathcal {S}}_{YM}={\frac {1}{2}}\int -tr(F\wedge *F)$。

历史

在1953年，沃尔夫冈·泡利将五维的卡鲁扎-克莱因理论拓展到六维。 但是，没有证据表明，他推导了规范场的拉格朗日量或者将其量化。因为他发现到他的理论“导致一些相当不实际的阴影粒子”，所以选择不发表他的成果。虽然这项成果没有正式写成论文发表，但他之后在苏黎世的演讲中谈论过这个理论。 最近的研究表明，扩展的卡鲁扎-克莱因理论和当年杨振宁与罗伯特·米尔斯的方程不同，因为前者包含附加项。

1954年，杨振宁与罗伯特·米尔斯写下了现今使用的杨-米尔斯理论，将原本可交换群的规范理论（应用在量子电动力学上）拓展到不可交换群，以解释强相互作用。 杨 - 米尔斯的想法受到了沃尔夫冈·泡利的批评，原因在于杨-米尔斯理论的量子必须质量为零以维持规范不变性，但是这些“质量为零”的粒子在自然界中并没有见到，所以杨振宁与罗伯特·米尔斯论文无法解释量子粒子的质量问题。因此，这个理论在当时并未受到重视。一直到1960年代，为了给这些无质量的粒子以质量，南部阳一郎、杰弗里·戈德斯通、乔瓦尼·乔纳-拉希尼欧等人开始运用对称性破缺的机制，从零质量粒子的理论中去得到带质量的粒子，杨-米尔斯理论的重要性才显现出来。

1967年， 温伯格和格拉肖基于规范对称的自发破缺，把格拉肖在1961年提出的电弱统一理论建立在了杨-米尔斯场论的基础之上，并引入了希格斯机制，提出具有U(1) ×SU(2)规范对称性的电弱理论。结合渐近自由度的思想，1972年，弗里兹希（H. Frizsch）和盖尔曼（M. Gell-Mann）提出了具有SU（3）规范对称性的杨-米尔斯理论, 建立了量子色动力学。描述电磁力和弱力的 电弱理论和描述强力的量子色动力学一起构成现今所谓的粒子物理的标准模型。

由于杨米尔斯理论的重要性及杨振宁在该理论工作的开创性贡献，1994年，在授予杨振宁鲍尔奖的颁奖词评价道“这项工作已经排列在牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦的工作之列，并必将对未来几代产生类似的影响。”

数学公式

${\mathcal {L}}_{YM}\equiv -2tr(F\wedge *F)=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{i})^{2}$

其中$F=dA+A^{2}=d_{D}A$ 是曲率形式，A是联络形式。$d_{D}A$外共变导数。F是矩阵场，元素等于

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }+[A_{\mu },A_{\nu }]$

$F_{\mu \nu }^{i}\equiv \partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}$

例如

• 标准模型 $G=U(1)\times SU(2)\times SU(3)$的杨米场论
• 量子色动力学 $G=SU(3)$
• 弱电相互作用 $G=U(1)\times SU(2)$
• 麦克斯韦方程组、电磁学、量子电动力学 $G=U(1)$

杨米的经典解

阅读瞬子。

量子化的YM场论

阅读杨-米尔斯存在性与质量间隙、路径积分表述。杨米尔斯有渐近自由、手征对称性破缺、以及质量间隙。YM场论也有夸克禁闭。但是现在没有数学证明，只有计算机和格点规范理论支持的猜想。

参阅

• 杨-米尔斯存在性与质量间隙
• 规范固定
• 卡鲁扎-克莱因理论
• 物理中的对称性
• 量子规范理论
• 杨-米尔斯-希格斯方程组

几何和数学

• 瞬子（杨米的经典解）
• BPST瞬子
• 外共变导数
• 规范共变导数
• 阿哈罗诺夫－玻姆效应

延伸阅读

书籍

• Frampton, P. Gauge Field Theories 3rd. Wiley-VCH. 2008. ISBN 978-3527408351. 
• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. 1983. ISBN 0-19-851961-3. 
• 't Hooft, Gerardus. 50 Years of Yang-Mills theory. World Scientific. 2005. ISBN 981-238-934-2. 
• John C. Baez. Gauge fields, Knots, and Gravity.
• Nash and Sen. Topology and Geometry for Physicists.
• David Tong notes. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Michael Nielsen. Intro to Yang Mills. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
• Zee (徐一鸿). QFT in Nutshell.
• Michael Nielsen. Intro to YM. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）

文章

• Svetlichny, George. Preparation for Gauge Theory. 1999. arXiv:math-ph/9902027  . 
• Gross, D. Gauge theory - Past, Present and Future (PDF). 1992 [2009-04-23]. （原始内容 (PDF)存档于2009-03-16）. 

外部链接

• Yang-Mills theory on DispersiveWiki
• The Clay Mathematics Institute
• The Millennium Prize Problems