外尔方程式

在量子力学及量子场论等领域，外尔方程式（英语：Weyl Equation）为一相对论量子力学的波动方程式，用以描述无质量的自旋½粒子。其以德国数学家赫尔曼·外尔为名。

方程式

外尔方程式的广义形式可写为：

$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$

在SI单位中可写为：

$I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0$

其中

$\sigma _{\mu }=(\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$

为一向量。μ = 0分量为2 × 2 单位矩阵；μ = 1,2,3分量为包立矩阵。ψ则是波函数，为外尔旋量一例。

外尔旋量

其组成有ψ_L与ψ_R，分别为左手（Left-handed）外尔旋量及右手（Right-handed）外尔旋量，各自有两个分量。两者皆有下列形式：

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }$

其中

$\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}$

为具有二常数分量之旋量。

既然粒子是不具质量的，亦即m = 0，动量p的范数为波向量k的简单乘积，由德布罗伊关系所描述：

$|\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c$

方程式可以左手及右手旋量来表示：

${\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=0\end{aligned}}$

推演

透过拉格朗日密度可得方程式：

${\mathcal {L}}=i\psi _{R}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}$

${\mathcal {L}}=i\psi _{L}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}$

将旋量及旋量的埃尔米特伴随（以$\dagger$标记）当作独立变数处理，则可得外尔方程式。

相关条目

• 狄拉克方程式（描述带质量的自旋½粒子）
• 角动量算符
• 动量算符
• 自旋

延伸阅读

• Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
• Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
• Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
• The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

外部链接

• （英文）The Primacy of The Weyl Equation
• （英文）Dirac-Weyl equation，石墨烯例子。
• （英文）WEYL SPINORS AND DIRACíS ELECTRON EQUATION