数学 的分支范畴论 中,单子 (英语:monad ),又称三元组(triple, triad )、标准构造(standard construction )、基本构造(fundamental construction )[ 1] ,是一个内函子 (即由某范畴 映到自身的函子 ),连同满足特定连贯条件 的两个自然变换 ,三者构成的整体。单子用于研究互为伴随的函子对 ,并将偏序集 上的闭包算子 推广到任意范畴。
单子是一类内函子 (连同其他资讯)。例如,若
F
{\displaystyle F}
和
G
{\displaystyle G}
为一对伴随函子 ,
F
{\displaystyle F}
为
G
{\displaystyle G}
的左伴随,则复合
G
∘
F
{\displaystyle G\circ F}
是单子。若
F
{\displaystyle F}
与
G
{\displaystyle G}
互为逆函子,则对应的单子是恒等函子 。一般而言,伴随关系并不等同范畴的等价 ,而可以联系不同性质的范畴。为了探讨伴随关系所“保持”的性质,数学家研究单子论。理论的另一半,即藉考虑
F
∘
G
{\displaystyle F\circ G}
,以研究伴随关系,是单子论的对偶理论。该类函子称为余单子 (英语:comonad )。
本条目中,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
皆表示某范畴 。
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的单子 是函子
T
:
C
→
C
{\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
,连同两个自然变换 ,分别是单位
η
:
1
C
→
T
{\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to T}
(其中
1
C
{\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}
是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的恒等函子)与乘法
μ
:
T
2
→
T
{\displaystyle \mu :T^{2}\to T}
(其中
T
2
{\displaystyle T^{2}}
是复合
T
∘
T
{\displaystyle T\circ T}
,亦是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
到
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的函子),且要满足下列连贯条件 :
μ
∘
T
μ
=
μ
∘
μ
T
{\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T}
(左右皆为
T
3
→
T
{\displaystyle T^{3}\to T}
的自然变换)。此处
T
μ
{\displaystyle T\mu }
与
μ
T
{\displaystyle \mu T}
经水平复合 而得。
μ
∘
T
η
=
μ
∘
η
T
=
1
T
{\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}}
(两者皆为
T
→
T
{\displaystyle T\to T}
的自然变换)。此处
1
T
{\displaystyle 1_{T}}
表示由函子
T
{\displaystyle T}
到自身的恒等自然变换。
以上两式,亦可以下列交换图 复述:
记号
T
μ
{\displaystyle T\mu }
与
μ
T
{\displaystyle \mu T}
的含义,参见自然变换 ,又或考虑以下更具体的写法,不用水平复合记号,并将各函子作用在任意物件
X
{\displaystyle X}
上:
定义中,若将
μ
{\displaystyle \mu }
当成幺半群的乘法,则第一条公理类似幺半群 的乘法结合律 ,而第二条公理类似单位元 的存在性(由
η
{\displaystyle \eta }
给出)。准确而言,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的单子,可以等价地定义为
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的内函子范畴
E
n
d
C
{\displaystyle \mathbf {End} _{\mathcal {C}}}
中的幺半群 。(该范畴的物件是
C
{\displaystyle C}
上的内函子,而态射是内函子间的自然变换,幺半结构 来自内函子的复合运算。)如此,单子不仅在形式上具有与幺半群 相似的公理,甚而单子就是幺半群的特例。
幂集单子
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
是集合范畴
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
上的单子。其定义中,函子
T
{\displaystyle T}
取为幂集 运算,即
T
(
A
)
{\displaystyle T(A)}
为集合
A
{\displaystyle A}
的幂集 ,而对于函数
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
,
T
(
f
)
{\displaystyle T(f)}
将
A
{\displaystyle A}
的子集映至其像集 ,即
T
(
f
)
(
A
′
)
=
f
[
A
′
]
{\displaystyle T(f)(A')=f[A']}
。对每个集合
A
{\displaystyle A}
,有函数
η
A
:
A
→
T
(
A
)
{\displaystyle \eta _{A}:A\to T(A)}
,对每个元素
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
映至单元子集
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
, 并有函数
μ
A
:
T
(
T
(
A
)
)
→
T
(
A
)
,
{\displaystyle \mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A),}
将
A
{\displaystyle A}
的若干个子集构成的族,映至该些子集的并集 。以上是幂集单子的定义。
两个单子的复合,未必为单子。举例,幂集单子
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
的二次迭代
P
∘
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}}
,无法配备单子结构。[ 2]
取上节定义的范畴论对偶 ,便是余单子 (或余三元组 )的定义。简单复述,范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的余单子,是对偶范畴
C
o
p
{\displaystyle C^{\mathrm {op} }}
上的单子。所以,余单子是由
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
到
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的某个函子
U
{\displaystyle U}
,连同余单位 与余乘法 (英语:counit and comultiplication )两个自然变换,组成的整体,而三者所要满足的公理,是将原定义中所有态射反转方向而得。
单子之于幺半群,如同余单子之于余幺半群 。每个集合皆是余幺半群,且仅有唯一一种方式,所以抽象代数 中,较少考虑余幺半群。然而,在线性代数 中,向量空间范畴 (配备张量积 )的余幺半群较为重要,以余代数 之名为人所知。
单子的概念最早由罗杰·戈德芒 于1958年提出[ 3] ,当时称为“标准构造”(英语:standard construction )。实际上,该书用到的是余单子,用作解决某个层余调 问题。
其后,单子又出现于彼得·胡伯(Peter Huber )对范畴同伦 的研究中。该论文包含由任意一对伴随函子得出单子的证明。[ 4]
1965年,海因里希·克莱斯利 [ 5] ,及塞缪尔·艾伦伯格 、约翰·柯曼·摩尔 二人[ 6] 分别独立 证明反向的结论,即每个单子皆可由某对伴随函子产生。后一篇论文中,将单子称为“三元组”。
1963年,威廉·洛维尔 提出泛代数 的范畴论。1966年,弗雷德·林顿(Fred Linton )将该理论用单子的语言表达。[ 7] 单子本身来自拓扑 方面的考量,事先似乎比洛维尔的理论更难处理,但已成为用范畴论语言阐述泛代数的方法中,较常见的一个。现今常用的英文名称monad 是1971年由桑德斯·麦克兰恩 在《现职数学家用的范畴 》引入,以其类似单子论 中的同名哲学概念,即某种能生出其他所有事物的实体。
1980年代,欧金尼奥·莫吉 在理论计算机科学 中,利用单子,为计算机程序的若干方面建立模型,包括例外处理、边界情况。[ 8] 此后,有多种函数式编程语言 仔细实作此想法,作为一种基本规律,同样称为单子 。2001年,若干数学家注意到,用单子研究程式标志语意的方法,与洛维尔的理论,两者之间有关联。[ 9] 。此为代数与语义间的联系,是后来活跃的研究课题。
若有伴随关系
F
:
C
⇄
D
:
G
{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {D}}:G}
(即
F
{\displaystyle F}
为
G
{\displaystyle G}
的左伴随,下同),则由此有
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的单子。此普遍的构造,取内函子为复合
T
=
G
∘
F
,
{\displaystyle T=G\circ F,}
而单位自然变换来自伴随的单位
η
:
id
C
→
G
∘
F
{\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\to G\circ F}
,乘法自然变换源自伴随的余单位
ε
{\displaystyle \varepsilon }
:
T
2
=
G
∘
F
∘
G
∘
F
→
G
∘
ε
∘
F
G
∘
F
=
T
.
{\displaystyle T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ \varepsilon \circ F} G\circ F=T.}
反之,给定单子,可以明确找回一对伴随函子,使单子为该对伴随函子的复合。此构造用到下节定义的
T
{\displaystyle T}
代数的艾伦伯格-摩尔范畴
C
T
{\displaystyle C^{T}}
。[ 10]
给定域
k
{\displaystyle k}
,双重对偶单子 (英语:double dualisation monad )源自伴随关系
(
−
)
∗
:
V
e
c
t
k
⇄
V
e
c
t
k
o
p
:
(
−
)
∗
,
{\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{\mathrm {op} }:(-)^{*},}
其中两个函子
(
−
)
∗
{\displaystyle (-)^{*}}
皆将
k
{\displaystyle k}
向量空间
V
{\displaystyle V}
映至对偶空间
V
∗
:=
Hom
(
V
,
k
)
{\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)}
,所以对应的单子将向量空间
V
{\displaystyle V}
映至双对偶
V
∗
∗
{\displaystyle V^{**}}
。Kock (1970 )对此有更广泛的讨论。
偏序集
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
可以视为特殊的范畴,任意两件物件之间有最多一支态射,且
x
{\displaystyle x}
到
y
{\displaystyle y}
有态射当且仅当 偏序中
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
。于是,偏序集之间的函子,即是保序映射,而伴随函子对,则组成两偏序集间的伽罗瓦连接 ,相应的单子是伽罗华连接的闭包算子 。
又举例,设
G
{\displaystyle G}
为群范畴
G
r
p
{\displaystyle \mathbf {Grp} }
至集合范畴
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
的遗忘函子 ,将群 映至其基集,又设
F
{\displaystyle F}
为自由 函子,由
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
到
G
r
p
{\displaystyle \mathbf {Grp} }
,则
F
{\displaystyle F}
是
G
{\displaystyle G}
的左伴随。此时,对应的单子
T
=
G
∘
F
{\displaystyle T=G\circ F}
的作用是,输入一个集合
X
{\displaystyle X}
,输出自由群
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
的基集,即字母取自
{
x
,
x
−
1
:
x
∈
X
}
{\displaystyle \{x,x^{-1}:x\in X\}}
,且无相邻两个字母互为逆元的字串 的集合。
该单子的单位变换,由包含映射
η
X
:
X
→
T
(
X
)
{\displaystyle \eta _{X}:X\rightarrow T(X)}
给出,该包含映射将
X
{\displaystyle X}
的任意元素,看成仅得一个字元的字串,从而是
T
(
X
)
{\displaystyle T(X)}
的元素。最后,单子的乘法
μ
X
:
T
(
T
(
X
)
)
→
T
(
X
)
{\displaystyle \mu _{X}:T(T(X))\rightarrow T(X)}
是串接 或“压平”运算,将若干条字串组成的串,映至该串中所有字串前后连接而成的一条字串。至此描述完单子的两个自然变换 。
前述例子中,自由群可以推广至其他种类的代数结构,即泛代数 意义下的任意一簇 代数。如此,每类代数定义了集合范畴上的一个单子。更重要的是,该类代数的范畴,可从单子找回,即单子的艾伦伯格-摩尔代数范畴,故单子可视为泛代数之簇的推广。
另外,尚有一个单子源自伴随关系。在向量空间范畴
V
e
c
t
{\displaystyle \mathbf {Vect} }
上,若
T
{\displaystyle T}
表示将向量空间
V
{\displaystyle V}
映至其张量代数
T
(
V
)
{\displaystyle T(V)}
的内函子,则相应有单位自然变换将
V
{\displaystyle V}
嵌入到其张量代数 ,并有乘法自然变换,在
V
{\displaystyle V}
处的分量是态射
T
(
T
(
V
)
)
→
T
(
V
)
{\displaystyle T(T(V))\to T(V)}
,将张量积之张量积展开化简。
只要满足某些不强的条件,无左伴随的函子也可以产生单子,称为余密度单子 。例如,从有限集合范畴
F
i
n
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {FinSet} }
到集合范畴
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
的包含函子无法配备左伴随,但其余密度单子定义在
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
上,将任意集合
X
{\displaystyle X}
映至其上所有超滤子 的集合
β
X
{\displaystyle \beta X}
。 类似例子见于Leinster (2013 )。
给定范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的单子
(
T
,
η
,
μ
)
{\displaystyle (T,\eta ,\mu )}
,可以考虑
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
代数物件 。
T
{\displaystyle T}
在该些物件上的作用,与单子的单位与乘法相容。具体而言,
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
代数
(
x
,
h
)
{\displaystyle (x,h)}
是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的物件
x
{\displaystyle x}
,连同态射
h
:
T
x
→
x
{\displaystyle h:Tx\to x}
(称为该代数的结构映射 ),使得图
及
皆可交换。
T
{\displaystyle T}
代数间的态射
f
:
(
x
,
h
)
→
(
x
′
,
h
′
)
{\displaystyle f:(x,h)\to (x',h')}
是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的态射
f
:
x
→
x
′
{\displaystyle f:x\to x'}
,且要使
可交换。于是,
T
{\displaystyle T}
代数及之间的态射组成范畴,称为艾伦伯格-摩尔范畴 (英语:Eilenberg–Moore category ),记为
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
.
若
T
{\displaystyle T}
为前述自由群单子 ,则
T
{\displaystyle T}
代数是集合
X
{\displaystyle X}
,连同由
X
{\displaystyle X}
生成的自由群
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
到
X
{\displaystyle X}
的映射(求值 ,evaluation ),且该映射要满足结合律 与单位元的公理。换言之,
X
{\displaystyle X}
本身就具有群结构,而
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
至
X
{\displaystyle X}
的映射,是将字串按
X
{\displaystyle X}
的群乘法,计算所得的结果
另一个例子是集合范畴上的分布单子 (英语:distribution monad )
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
,其将集合
X
{\displaystyle X}
映至其上所有有限支撑 的概率分布 的集合。该等分布,是函数
f
:
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f:X\to [0,1]}
,仅于有限多个元素
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
处取值非零,而各元素处取值之和为
1
{\displaystyle 1}
。以符号表示,
D
(
X
)
=
{
f
:
X
→
[
0
,
1
]
:
#
supp
(
f
)
<
+
∞
,
∑
x
∈
X
f
(
x
)
=
1
}
.
{\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.}
可由定义证明,分布单子上的代数,等同于凸集 ,即集合要配备二元运算
+
r
{\displaystyle +_{r}}
(对每个
r
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle r\in [0,1]}
),满足的公理比照欧氏空间 中,凸组合
(
x
,
y
)
↦
r
x
+
(
1
−
r
)
y
{\displaystyle (x,y)\mapsto rx+(1-r)y}
具备的性质。[ 11] [ 12]
另一个有用的单子,是交换环
R
{\displaystyle R}
的模范畴
M
o
d
R
{\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}
上的对称代数单子
Sym
∙
(
−
)
:
M
o
d
R
→
M
o
d
R
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):\mathbf {Mod} _{R}\to \mathbf {Mod} _{R}}
将
R
{\displaystyle R}
模
M
{\displaystyle M}
映到各阶对称张量 幂的直和
Sym
∙
(
M
)
=
⨁
k
=
0
∞
Sym
k
(
M
)
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}
其中
Sym
0
(
M
)
=
R
{\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}
。例如,
Sym
∙
(
R
⊕
n
)
≅
R
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}
,左右两边作为
R
{\displaystyle R}
模同构。如此,对称代数单子上的代数,是交换
R
{\displaystyle R}
代数 。类似地,也有反对称张量 单子
Alt
∙
(
−
)
{\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}
与全张量单子
T
∙
(
−
)
{\displaystyle T^{\bullet }(-)}
,相应的代数分别是反对称
R
{\displaystyle R}
代数与自由
R
{\displaystyle R}
代数,故
Alt
∙
(
R
⊕
n
)
=
R
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
T
∙
(
R
⊕
n
)
=
R
⟨
x
1
,
…
,
x
n
⟩
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,\end{aligned}}}
前者是
R
{\displaystyle R}
上添加
n
{\displaystyle n}
个生成元的自由反对称代数,而后者则是
n
{\displaystyle n}
个生成元的自由代数。
对于可交换
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
代数 ,亦有类似的构造,[ 13] :113 对于可交换
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
代数
A
{\displaystyle A}
,对应单子上的代数是可交换的
A
{\displaystyle A}
代数。若
M
o
d
A
{\displaystyle \mathbf {Mod} _{A}}
表示
A
{\displaystyle A}
模的范畴,则可以考虑函子
P
:
M
o
d
A
→
M
o
d
A
{\displaystyle \mathbb {P} :\mathbf {Mod} _{A}\to \mathbf {Mod} _{A}}
,定义为
P
(
M
)
=
⋁
j
≥
0
M
j
/
Σ
j
,
{\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j},}
其中
M
j
=
M
∧
A
⋯
∧
A
M
⏟
j
.
{\displaystyle M^{j}=\underbrace {M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M} _{j}.}
此函子是单子,而由该单子上的代数范畴,可以得到可交换
A
{\displaystyle A}
代数的范畴
C
A
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}
。
如前文 所述,任何伴随关系 皆产生单子。反之,每个单子
T
{\displaystyle T}
皆可由某个伴随关系产生,即原范畴与
T
{\displaystyle T}
代数的艾伦伯格-摩尔范畴之间的自由-遗忘伴随
T
(
−
)
:
C
⇄
C
T
:
F
.
{\displaystyle T(-):{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {C}}^{T}:F.}
其中,左伴随
T
(
−
)
{\displaystyle T(-)}
将
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的物件
x
{\displaystyle x}
映到自由
T
{\displaystyle T}
代数
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
,右伴随
F
{\displaystyle F}
则将
T
{\displaystyle T}
代数
(
x
,
h
)
{\displaystyle (x,h)}
遗忘掉
h
{\displaystyle h}
,变回
x
{\displaystyle x}
。然而,通常有多组不同的伴随关系产生同样的单子,该些伴随关系组成范畴
A
d
j
(
C
,
T
)
{\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)}
:物件是伴随关系
(
F
,
G
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}
使得
(
G
F
,
η
,
G
ε
F
)
=
(
T
,
η
,
μ
)
{\displaystyle (GF,\eta ,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )}
,而态射是在
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
一侧为恒等函子的伴随关系态射。如此,艾伦伯格-摩尔范畴的自由-遗忘伴随
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
是
A
d
j
(
C
,
T
)
{\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)}
的终物件,而始物件是克莱斯利范畴
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}}
,定义为
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
中的自由
T
{\displaystyle T}
代数组成的完全子范畴 ,即仅包含形如
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
的
T
{\displaystyle T}
代数,其中
x
{\displaystyle x}
历遍
C
{\displaystyle {\mathcal {\mathcal {C}}}}
的物件。
设有伴随关系
(
F
:
C
→
D
,
G
:
D
→
C
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}
,对应单子为
T
{\displaystyle T}
,则函子
G
{\displaystyle G}
可分解为
D
→
G
~
C
T
→
F
C
,
{\displaystyle {\mathcal {D}}\xrightarrow {\tilde {G}} {\mathcal {C}}^{T}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}},}
其中
F
{\displaystyle F}
是遗忘函子。换言之,对
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
中任意物件
Y
{\displaystyle Y}
,都能赋予
G
(
Y
)
{\displaystyle G(Y)}
自然的
T
{\displaystyle T}
代数结构。若分解式中,首个函子
G
~
{\displaystyle {\tilde {G}}}
给出
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
与
C
T
{\displaystyle C^{T}}
两范畴间的等价 ,则形容该伴随关系为单子的 (英语:monadic )。[ 14] 后亦引申用作形容函子,若函子
G
:
D
→
C
{\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}
有左伴随
F
{\displaystyle F}
,且该伴随关系为单子的,则
G
{\displaystyle G}
亦称为单子的 。例如,群范畴 与集合范畴 间的自由-遗忘伴随是单子的,因为相应单子
T
{\displaystyle T}
上的
T
{\displaystyle T}
代数是群(见前文 )。一般而言,若有伴随关系
(
F
:
C
→
D
,
G
:
D
→
C
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}
为单子的,则单从
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的物件及其上的
T
{\displaystyle T}
作用,已足以重组出
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
的物件。
贝克单子性定理 给出伴随关系在何种充要条件下为单子的。定理有以下简化版:
若满足以下三项条件:
G
{\displaystyle G}
为保守函子 ,换言之,
G
{\displaystyle G}
反映同构 (英语:reflects isomorphisms ),即对
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
中每一支态射,其为同构当且仅当在
G
{\displaystyle G}
作用下的像为
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的同构;
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
有余等化子 ;
G
{\displaystyle G}
保余等化子 ;
则
G
{\displaystyle G}
为单子的。
例如,由紧 豪斯多夫空间 范畴
C
H
a
u
s
{\displaystyle \mathbf {CHaus} }
到集合范畴
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
的遗忘函子是单子的。然而,由任意拓扑空间范畴
T
o
p
{\displaystyle \mathbf {Top} }
到集合范畴
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
的遗忘函子则并非单子的,而定理中,保守函子的条件不成立,因为有非紧或非豪斯多夫空间,之间存在连续双射,但不为同胚 。[ 15]
贝克定理有对偶版本,刻划余单子伴随关系,对拓扑斯论 及有关下降 的代数几何 课题有用。
余单子的伴随关系,首先有下列例子:
−
⊗
A
B
:
M
o
d
A
⇄
M
o
d
B
:
F
,
{\displaystyle -\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:F,}
其中
A
,
B
{\displaystyle A,B}
皆为交换环 ,左伴随用到的张量积
⊗
A
{\displaystyle \otimes _{A}}
的定义中,选定了环同态
A
→
B
{\displaystyle A\to B}
,而右伴随
F
{\displaystyle F}
是遗忘函子。根据贝克定理,当且仅当
B
{\displaystyle B}
为忠实平坦
A
{\displaystyle A}
模时,该伴随为余单子的。所以,可将配备下降数据(英语:descent datum ,即源自伴随关系的余单子的作用)的
B
{\displaystyle B}
模,降成
A
{\displaystyle A}
模。所得的忠实平坦下降 理论,广泛应用于代数几何。
函数式编程 中,会使用单子表达某类(有时有副作用的)顺序式计算,见单子 (函数式编程) 。
范畴论逻辑中,藉闭包算子 、内代数 ,以及两者与S4模态逻辑 、直觉主义逻辑 的关系,能以单子馀单子理论类比模态逻辑 。
亦可定义2-范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的单子。
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