在数学上,佩兰数列是一个整数数列,由起始数值
和递归关系
定义。
首数个值为3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... (OEIS:A001608)
佩兰数列的递归关系和巴都万数列一模一样,只是起始值不同而已。
佩兰伪质数[编辑]
考虑数列中
的数,有1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...除掉1外,这些数都是质数。
已经证明了对于所有质数,
。但其逆定理并不成立,这样的合成数称为佩兰伪质数,最小的一个是
。(OEIS:A013998)
此数列早于1878年就被爱德华·卢卡斯研究(American Journal of Mathematics, vol 1, page 230ff)。1899年R. Perrin(L'Intermediaire Des Mathematiciens)又再研究。对此数列较详尽的研究是Dan Shanks及Bill Adams在1982年发表的论文(Mathematics of Computation, vol 39, n. 159)。
生成函数[编辑]
佩兰数列的生成函数为:
![{\displaystyle G(P(n);x)={\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a98ce64f35ba3d991ee80df723a2a748a8940b)
矩阵形式[编辑]
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}*{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P\left(n+2\right)&P\left(n+1\right)&P\left(n\right)\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c6d08bf741b045a5f6e85e98e8579d820dcd24)
估计值[编辑]
和巴都万数列一样,佩兰数列的一般形式也和方程
的三个根有关:实根
(即银数)和两个复数根
、
。
。
因为
、
的绝对值少于1,在
很大的时候会很接近0,可以忽略:
。显然易见两个连续佩兰数之比会以银数为极限,即约1.324718。