2φ1
外观
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2φ1是高斯超几何函数2F12F1延伸而來(hypergeometric analogue)[1],最初由德国数学家海因里希·爱德华·海涅(Heinrich Eduard Heine)在19世紀提出。
2φ1也可以用級數定義,可用差分方程(微分方程的q-模拟)描述,可用「積分」表達。
級數定義
[编辑]假設
- a 是自然數
- {a} := (1-qa) / (1-q)
- {a}! := {a} {a-1} ......{3}{2}{1}
定義[2]
- 2φ1 (qa , qb; qc ; q, z)
- :=Σn=0∞(Πj=0n-1{a+j}{b+j} / {c+j}{1+j})zn
差分方程
[编辑]假設運算子[3]
- ∂= z 2d/z
- {∂+Y}K(a) := [(1-q∂qx) / (1-p) ] f(c) = ( a(z) - qt f(qz) ) / (1-q)
这样 2φ1 (qa , qb; qc ; q, z) 符合二次差分方程(高斯超幾何方程的推廣):
- (z{∂+y}{∂+x} - {∂}{∂+d-1})2φ1=0
Jackson積分表示
[编辑]設
这样
- 2φ1 (qa , qb; qc ; q, z) = Γq(c) /Fq(b)Γq(c-b) .∫[ tb-1{(1-tz)-a} / {(1-t)b-c} ] . dqt / (1-t)
参考来源
[编辑]参考书目
[编辑]- "EFK": Pavel I. Etingof / Igor B. Frenkel / Alexander A. Kirillov (1998) : Lectures on Representation Theory and Knizhnik-Zamolodchikov Equations , ISBN 0-8218-0496-0
- G. Gasper / M. Rahman (1990) : Basic hypergeometric series, Cambridge University Press