最小上界性
外观
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数学中,最小上界性(亦称上确界性,英語:least-upper bound property, LUB)[1] 是实数集和其他一些有序集的基础属性,与实数的完备性等价[2] 。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。
性質概述
[编辑]實數
[编辑]令為實數集的一個非空子集。
- 如果實數大於或等於所有中的元素,則稱為的上界。
- 如果實數是的上界,并且小於或等於所有的上界,則稱為的最小上界。
最小上界性的表述為
- 所有具有上界的非空實數集都有最小上界,且最小上界為實數。
一般序集合
[编辑]對任意偏序集合,我們都可以定義的子集的上界和最小上界,只需把前一段落的「實數」改為「的元素」即可。
此處最小上界性的表述為
- 所有具有上界的的非空子集都有最小上界,并滿足。
有理數集并沒有最小上界性,考慮其子集
它有在有理數集中的上界(例如2),但它的最小上界不在有理數集中。
證明
[编辑]應用
[编辑]最小上界性可以用來證明許多實分析中的主要定理