扭歪多面體
在幾何學中，扭歪[1][2]多面體（英語：Skew polyhedron）是指頂點、邊或面並非全部位於同一個三維空間中的多面體，即扭歪多邊形的高一維類比，因此其無法找到一個唯一的內部區域以及其體積。
正扭歪多面體代表每個面全等、每條邊等長、每個角都相等的扭歪多面體，是一系列可能具有非平面的面或頂點圖。考克斯特的研究著重於具有扭歪頂點圖新的四維多面體，後期多由布蘭科·格林鲍姆研究有扭歪面的形狀[4]。
具有無限多個面的扭歪多面體稱為扭歪無限面體。除了扭歪無限面體之外的扭歪多面體僅能存在於四維或以上的空間。
歷史
[编辑]關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念廣義化。
考克斯特針對這種圖提出一個施萊夫利符號的擴展符號 {l,m|n} ，其中以{l,m}表示其頂點：每個頂點都是m個l邊形的公共頂點。他們的頂點圖是扭歪多邊形，以鋸齒的形式存在於兩個面中。
能表示為{l,m|n}的正扭歪多面體存在以下等式：
第一系列的{l,m|n}正扭歪多面體與五個正多面體和一個星形正多面體相關：
| {l, m | n} | 面 | 邊 | 頂點 | p | 多面體 | 對稱性 階數 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| {3,3|3} = {3,3} | 4 | 6 | 4 | 0 | 正四面體 | 12 |
| {3,4|4} = {3,4} | 8 | 12 | 6 | 0 | 正八面體 | 24 |
| {4,3|4} = {4,3} | 6 | 12 | 8 | 0 | 立方體 | 24 |
| {3,5|5} = {3,5} | 20 | 30 | 12 | 0 | 正二十面體 | 60 |
| {5,3|5} = {5,3} | 12 | 30 | 20 | 0 | 正十二面體 | 60 |
| {5,5|3} = {5,5/2} | 12 | 30 | 12 | 4 | 大十二面體 | 60 |
四維的正扭歪多面體
[编辑]| A4 考克斯特平面投影 | |
|---|---|
|
|
| {4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} |
| 截半五胞體 (60條邊、20個頂點) |
過截角五胞體 (60條邊、30個頂點) |
| F4 考克斯特平面投影 | |
|
|
| {4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} |
| 截半二十四胞體 (576條邊、144個頂點) |
過截角二十四胞體 (576條邊、288個頂點) |
| 一些位於半正多胞體中的四維扭歪多面體的投影 | |
考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體及其類似物》[5]中列出了較多的一系列扭歪多面體。
| {l, m | n} | 面 | 邊 | 頂點 | p | 結構 | 對稱性 | 階數 | 相關半正多胞體 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,4| 3} | 9 | 18 | 9 | 1 | D3xD3 | [[3,2,3]+] | 9 | 3-3 超柱體 |
| {4,4| 4} | 16 | 32 | 16 | 1 | D4xD4 | [[4,2,4]+] | 16 | 4-4 超柱體 或 超立方體 |
| {4,4| 5} | 25 | 50 | 25 | 1 | D5xD5 | [[5,2,5]+] | 25 | 5-5 超柱體 |
| {4,4| 6} | 36 | 72 | 36 | 1 | D6xD6 | [[6,2,6]+] | 36 | 6-6 超柱體 |
| {4,4| n} | n2 | 2n2 | n2 | 1 | DnxDn | [[n,2,n]+] | n2 | n-n 超柱體 |
| {4,6| 3} | 30 | 60 | 20 | 6 | S5 | [[3,3,3]+] | 60 | 截半五胞體 |
| {6,4| 3} | 20 | 60 | 30 | 6 | S5 | [[3,3,3]+] | 60 | 過截角五胞體 |
| {4,8| 3} | 288 | 576 | 144 | 73 | [[3,4,3]+] | 576 | 截半二十四胞體 | |
| {8,4| 3} | 144 | 576 | 288 | 73 | [[3,4,3]+] | 576 | 截半二十四胞體 |
| {l, m | n} | 面 | 邊 | 頂點 | p | 結構 | 對稱性 | 階數 | 相關的多胞體 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,5| 5} | 90 | 180 | 72 | 10 | A6 | [[5/2,5,5/2]+] | 360 | 截半大星形一百二十胞體 |
| {5,4| 5} | 72 | 180 | 90 | 10 | A6 | [[5/2,5,5/2]+] | 360 | 過截角大星形一百二十胞體 |
參見
[编辑]參考文獻
[编辑]- Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra[永久失效連結], Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355-387
- Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8
- Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
- Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
- Schulte, Egon and Wills, Jörg M. On Coxeter's regular skew polyhedra. Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262 [2016-08-01]. （原始内容存档于2020-07-12）.
- ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容存档于2020-11-19）.
- ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. （原始内容存档于2013-07-20）.
- ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 p. 25
- ^ Abstract Regular Polytopes[3] , p.7, p.17
- ^ Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.
