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努梅罗夫方法

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努梅罗夫方法属于四阶线性多步法,用于求解不出现一阶微分项的二阶常微分方程。努梅罗夫方法属于隐式方法,但如果微分方程线性,则可转化为显式方法。该方法由 俄国天文学家Boris Vasil'evich Numerov提出。

方法

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可由努梅罗夫方法求解的微分方程形式为

求出函数 在区间 上等距格点上的值,从连续的两个格点上的函数值 开始,其他的函数值可由

算得。

其中, 为在格点 上的函数值,为格点间距。

对于非线性方程,

则非线性方程的努梅罗夫方法

该式为隐式的线性多步方法。当 的线性函数时,该式变为显式方法,精度为4阶(Hairer, Nørsett & Wanner 1993,§III.10)。

应用

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在物理中用于数值求解任意势场中径向薛定谔方程

此式可重写为

其中 . 与Numerov方法求解的方程形式做比较,

这样,我们可以数值求解薛定谔方程。

推导

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泰勒展开开始, 我们可求 的相接邻点上的函数值

上两式之和为

用所求微分方程的定义式 替换掉

对所求微分方程的定义式 取二次微分

将其代入到四阶微分项中,并把二阶导 替换为 的二阶差分公式

求解 可得

忽略掉 就可以得到努梅罗夫方法,最终收敛阶数为4(假定稳定)。

参考文献

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外部链接

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