在數學中,交換環上的代數或多元環是一種代數結構,上下文不致混淆時通常逕稱代數。
本頁面中的環都是指有單位的環,並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。
給定一個交換環
。
給定一個四元組
。如果以下兩個條件成立:
是一個
-模。
是一個
的內部運算(即
),並且是
-雙線性的。也就是說內部運算
符合以下三點:
![{\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad (x+y)\times z=x\times z+y\times z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce084e769c29b92c6fcb45c9e8e1c649cdca6bb)
![{\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad x\times (y+z)=x\times y+x\times z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac779e98681340925a61b4454d3363eb4f724126)
![{\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce87f7b7adfe2c9b896ef79fe544466660aad310)
那麼我們說四元組
是一個
上的代數(或稱
-代數),或簡稱集合
是一個
-代數。
設
為一個
-代數。
- 如果內部運算
符合結合律,那麼我們說
是一個結合代數。
- 如果內部運算
有一個單位元(即
),那麼此單位元是唯一的並且我們說
是一個有單位的代數。
- 如果內部運算
符合交換律,那麼我們說
是一個交換代數。
註:有些作者用結合代數來稱呼結合且有單位的代數,或是用交換代數來稱呼結合、有單位且交換的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。
一樣給定一個交換環
。
給定一個四元組
。 這是一個
上的結合代數(
結合且有單位的代數、
結合、有單位且交換的代數)當且僅當以下三個條件成立:
是一個
-模。
是一個環(
一個幺環、
一個交換環)。
是一個
的內部運算(即
),並且是
-雙線性的。
註:上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為:
是一個
的內部運算(即
),並符合![{\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce87f7b7adfe2c9b896ef79fe544466660aad310)
上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數:
- 給定一個結合且有單位的
-代數
就等於給定一個二元組
:其中
是一個環,而
是一個滿足
的環同態。(
代表環
的中心,也就是
)。
原因是如果
是一個結合且有單位的
-代數,那麼
是一個環並且
是一個環同態,滿足
。反過來看,如果
是一個環,而
是一個滿足
的環同態,那麼我們可以定義外部運算
(即
)。
上環的結構與此外部運算結構使其成為一個
-模並且成為一個結合且有單位的
-代數。
將上述性質套用在交換環上,我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法:
- 給定一個結合、有單位且交換的
-代數
就等於給定一個二元組
:其中
是一個交換環,而
是一個的環同態。
設
是
-代數,
-模間的同態
被稱作
-代數間的同態,若且唯若它滿足
。因此所有
-代數構成一個範疇,也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態。
設
是
-代數。當
是個自由的有限秩
-模(當
為域且
時自動成立)時,可選定一組基底
,並將乘法寫作
(採用愛因斯坦記號)
此時常數
稱作
對基底
的結構常數。
- 對於
,矩陣環
附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的
-代數。
- 對二階以上的矩陣環,假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為
,此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個約當代數的例子。
- 歐氏空間
對其外積構成一個非交換、非結合且無單位的
-代數。這是一個李代數的例子。
- 四元數
是一個非交換但結合且有單位的
-代數。
- 八元數
是一個非交換、非結合但有單位的
-代數。
- 考慮所有在正無窮有極限且極限為0的函數
所形成的集合,附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的
-代數。
除了交換結合代數外,一般常研究的幾類代數包括李代數、克里福代數、約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。
代數上也可以賦予拓撲結構,並要求代數運算是連續的;最突出的例子是巴拿赫代數,這是現代泛函分析的基石之一。