鞅中央極限定理

鞅中央極限定理是機率論中的一個定理，對有界的隨機變數而言，常見的經典中央極限定理是它的特殊情形。經典中央極限定理說，在一定條件下，獨立同分布（i.i.d.）的隨機變數之和，乘以適當的標準化因數後，會依分布收斂於標準常態分布。而鞅中央極限定理將獨立性假設放寬為：這些隨機變數只需構成一個鞅中的隨機增量（鞅是一種隨機過程，其從時間 $t$ 到時間 $t+1$ 的增量，在給定時間 1 到 $t$ 觀測值的條件下，其條件數學期望值為零）。

定理內容

鞅中央極限定理的基本內容可陳述如下：令隨機變數 $X_{1},X_{2},\dots \,$ 構成一個鞅，即滿足條件：

\mathbb {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,

（鞅的定義）

進一步假設這個鞅是有限增量的，即：存在一個固定常數 $k>0$ ，有：

|X_{t+1}-X_{t}|\leq k

對所有 $t$ 成立。另假設 $|X_{1}|\leq k$ 也成立。定義增量的條件變異數為：

\sigma _{t}^{2}=\mathbb {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],

並假設所有條件變異數之和發散，即下式以機率1成立：

\sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty

據此，對任意給定的常數 $\nu >0$ ，可以定義：

\tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.

在所有上述假設成立的條件下，鞅中央極限定理做出如下結論：標準化的鞅隨機變數：

{\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}

隨著 $\nu \to +\infty \!$ 將會依分布收斂於標準常態分布。

上述定理假設了所有隨機增量的條件變異數之和為無窮大，即以下條件以機率1成立：

\sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty

這樣可以確保以機率1，下式成立：

\tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0

並不是所有鞅都滿足這個條件，例如恆為零的平凡鞅。

可以通過將 ${\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}$ 如下變形來更好地理解鞅中央極限定理：

{\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1

右邊的第一項漸近收斂於零，可以忽略。第二項在形式上，與獨立同分布隨機增量的經典中央極限定理相似，雖然其中被求和項 $X_{i+1}-X_{i}$ 互相之間未必獨立，但由鞅的定義易知它們互不相關的，因為：

\mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})|X_{1},\ldots ,X_{i+m}]]=0

Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8. Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8. Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8.
有關定理5.4的討論以及推論5.3（ii）的正確形式，請參見Bradley, Richard. On some results of MI Gordin: a clarification of a misunderstanding. Journal of Theoretical Probability (Springer). 1988, 1 (2): 115–119. doi:10.1007/BF01046930.