費希爾方程

在數學中， 費希爾方程（Fisher equation），是由生物學家羅納德·艾爾默·費希爾於1936年為了研究人群中某基因的傳播，以及邏輯型的生長-擴散現象而引入的一個非線性偏微分方程。此方程可以描述一些在生物學和化學系統中出現的波的傳播現象，例如燃燒、擴散和傳質、非線性擴散、生態學以及反應爐中的中子數量等等^[1]。費希爾方程可寫成以下形式:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=au(1-u)

^[1]^[2]^[3]。

解析解

費希爾方程的行波解（traveling-wave solution）為：

w(x,t)=\pm \xi ^{2}\varphi (\xi )

且

\xi =C_{1}exp({\frac {1}{6}}{\sqrt {6a}}x+{\frac {5}{6}}at)

其中， $\varphi (\xi )$ 通過隱函數定義為：

\xi =\int {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {\pm (4\varphi ^{3}-1)}}}-C_{2}

C₁ 和 C₂ 為任意的常數。上述定義的反函數對應著魏爾斯特拉斯橢圓函數，即

\varphi (\xi )=\wp (\xi +C_{3},0,1)

^[2]

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