在拓撲學的相關領域中,積空間是指一族拓撲空間的笛卡兒積與其配備的自然拓撲結構,這個自然拓撲結構被稱為積拓撲(英語:Product topology)。
直觀動機上,一族拓撲空間笛卡兒積,最「自然」的拓撲,應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲;換句話說,設有集合族
,具有指標集
與指標函數
:
![{\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab8f6648a546fa2eb59a9fd84c9d3f4b3ecd672)
且有相應的一族拓撲
與指標函數
:
![{\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathcal {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3274d14c82b708b631cceb42f4608e7f0aebd061)
![{\displaystyle (\forall i\in I)[\tau (i){\text{ is topology of }}x(i)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116a968ae746c345078a4909f98f55eda08aaea2)
若
就是無窮乘積
上滿足需求的那個拓撲,那對於任意指標
,以下的第
投影映射:
![{\displaystyle \pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944f6cf6738f08a8f38f141a224ec3d8ce353cd7)
![{\displaystyle \left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63390a8193f0fba9e67089f93eaaa8cd24b9349f)
必須對所有開集
須滿足:
![{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})\in \tau _{\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5086622dc3ae2234789f507f42391036decc1e5f)
也就是說,
必須
-
連續。
首先從
的定義,對任意
有:
![{\displaystyle \left[f\in {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})\right]\Leftrightarrow \left\{\left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)\wedge {\big [}f(j)\in o_{j}{\big ]}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bfda3d1e166241a2f1ef5713b3d5f67873187a)
那如果取個一對一函數
滿足:
![{\displaystyle (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f592a16977588880e15c2757ceaa663c7abe2eba)
![{\displaystyle o(j)=o_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f2eca78c1a7a9b6eb95bf2aabd685990065733)
那以上的要求就可以寫為:
![{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})=\prod _{o}o(I)\in \tau _{\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8749946acea9c17dafd2fb3907cad133f7277ff3)
也就是除了
取小開集,其他都選全集的無窮乘積,應該也要是
的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲
,應該是包含:
![{\displaystyle \left\{\prod _{o}o(I)\,{\Bigg |}\,(\exists j\in I)\left\{\left(o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}\right)\wedge (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}\wedge {\big [}o(j)\in \tau (j){\big ]}\right\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2069c80c500bb16c7cc9efe0d7a640122081cda)
的最粗拓撲,總結如下:
如果指標集為有限,則積拓撲有更簡單的表述;這是因為可以免除用函數定義無窮乘積的迂迴途徑,而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的有限積拓撲:
設
都是拓撲空間,若對任意自然數指標
來說,以下的投影映射
:
![{\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to x(j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417f23549cf20eb031f3163764068858f1c5934f)
![{\displaystyle \pi _{j}(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})=a_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0aa1b0ef3e3b4be27003cff88d6890f48f3bda)
對於
上的「自然拓撲 」
,取任意開集
應滿足:
![{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})\in \tau _{\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32c973443dc7646967c7cd46e2c7547bcaeb32a)
也就是說,
都應
-
連續。那從
的定義,對任意
有:
![{\displaystyle \left[p\in {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})\right]\Leftrightarrow (\forall i\in \mathbb {N} )\left\{(p_{i}\in X_{i})\wedge (p_{j}\in O_{j})\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8621c792d8b11a99101a80bbaddd2e72eae689f)
換句話說,這個「自然拓撲」必須滿足:
(
)
![{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{1})=O_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}\in \tau _{\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a1df5301e11e19c62ea44e92e0ef38a3d8a9db)
那稍微推廣一下,對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列:
![{\displaystyle V:\mathbb {N} \to \bigcup \{\tau _{1},\,\tau _{2},\,\dots ,\,\tau _{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc82bf04dbf771a35ddb01c1d73f1c2f750ca39)
![{\displaystyle V(i)=V_{i}\in \tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8854682729fa704a3c99f444be527fd4187be2)
要求:
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}V_{i}=V_{1}\times \dots \times V_{n}\in \tau _{\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff286c051b764112347196089d133a45f84413a)
那因為
(母集合當然是開集合),這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件;反過來,因為:
![{\displaystyle V_{i}=V_{1}\times \dots \times V_{n}=\bigcap _{j=1}^{n}X_{1}\times \dots \times X_{j-1}\times V_{j}\times X_{j+1}\times \dots \times X_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90168466f64e6741882a7558f580d9a0fe9e2bf)
所以根據開集的有限交集也是開集的性質,「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述,可以作如下的定義:
定義 — 設
都是拓撲空間,取:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{\prod _{i=1}^{n}V_{i}\,{\Bigg |}\,V_{i}\in \tau _{i}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5259c1b1f377402d47f5fb2ee69dbbb6f72dd362)
那在
上包含
的最粗拓撲
被稱為
的有限積拓撲,而
被稱為相應的有限積空間。
從實直線R上的標準拓撲開始,定義n份R的乘積,就得到普通的Rn上的歐幾里得拓撲。
康托爾集同胚於可數個離散空間{0,1}的乘積而無理數的空間同胚於可數個自然數集的乘積,每個集合也是採用離散拓撲。
如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基,則集合積 B1 × B2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用,除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
乘積空間X加上標準投影,可以用如下的泛性質來刻劃:若Y是拓撲空間,並且對於每個I中的i,fi : Y → Xi是一個連續映射,則存在恰好一個連續映射f : Y → X滿足對於每個I中的i如下交換圖成立:
乘積空間的特性
這表明乘積空間是拓撲空間範疇中的積。從上述泛性質可以得出映射f : Y → X連續若且唯若fi = pi o f對於所有I中的i連續。在很多情況下,檢查分量函數fi的連續性更為方便。檢驗映射f : Y→ X是否連續通常更難;可以試著用某種方式利用pi連續這一點。
除了連續,標準投影pi : X → Xi也是開映射。這表示每個積空間的開子集投影到Xi上還是開集。反過來不真:若W是到所有Xi的投影都是開集的積空間的子空間,則W不一定是X中的開集。(例如,W = R2 \ (0,1)2.)標準投影通常不是閉映射。
積拓撲有時稱為點式收斂拓撲,因為:X上的一個序列 (或者網)收斂若且唯若它所有到Xi的投影收斂。特別是,如果考慮所有在空間X = RI 對於所有I上的實值函數,在積拓撲上的收斂就是函數的點式收斂。
積拓撲的一個重要定理就是吉洪諾夫定理:任何緊緻空間的乘積是緊緻的。對於有限乘積很容易證明,而其一般情況等價於選擇公理。
- 可分離性
- 緊緻性
- 連通性
- 每個連通(路徑-連通)空間是連通的(路徑-連通的)。
- 每個遺傳性不連通空間的積是遺傳性不連通的。
每個"局部看起來"一個標準投影F × U → U的空間稱為纖維叢。