皮卡定理
外觀
皮卡定理是兩個不同的數學定理的泛稱,由法國數學家埃米爾·皮卡證明。這兩個定理都涉及解析函數的值域。
定理的表述
[編輯]小定理
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皮卡小定理說明,如果複變函數是整函數且不是常數,則的值域或者是整個複平面,或者只去掉一個點。 這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理:任何不是常數的整函數都一定是無界的。
皮卡的原始證明利用了模λ函數(Modular lambda function)。[1]證明概要如下:若的值域不包含複平面上的兩個點,不失一般性地,可以假設的值域不包含0和1,設是其值域中的點,在這個點附近,可以選取模函數的逆的某個單值解析分支,記作。利用模函數的通用覆蓋性和單值性定理,可以將點()附近定義的複合映射解析延拓到整個複平面上,從而得到一個在複平面上單值解析但有界的函數。根據劉維爾定理,該函數為常函數。因此也是常函數。[2]
大定理
[編輯]皮卡大定理說明,如果在點具有本性奇點,那麼在任何含有的開集中,都將取得所有可能的複數值,最多只有一個例外。
這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理,後者只保證了f的值域在複平面內是稠密的。
評論
[編輯]- 這個「唯一的例外」實際上在兩個定理中都是需要的:指數函數ez是一個整函數,永遠不能是零。e1/z在0處具有本性奇點,但仍然不能取得零。
- 皮卡大定理在一個更一般的形式中也是正確的,可以應用於亞純函數:如果M是一個黎曼曲面,w 是M上的一個點,P1C = C∪{∞}表示黎曼球面,f : M \ {w} → P1C是一個全純函數,在w處具有本性奇點,那麼在M的任何含有w的開子集中,函數f都可以取得除了兩個點以外的所有P1C的點。
- 例如,亞純函數f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0處具有本性奇點,在0的任何鄰域內都無窮多次取得值∞;但它無法取得0或1的值。
- 皮卡小定理可以從皮卡大定理推出,因為整函數要麼是多項式,要麼在無窮遠處具有本性奇點。
注釋
[編輯]- ^ Sanford L. Segal. Nine Introductions in Complex Analysis. Elsevier. 2007: 35. ISBN 9780080550763.
- ^ 李忠. 复分析导引. 北京大學出版社. 2004: 15. ISBN 9787301077986.
參考文獻
[編輯]- Conway, John B. Functions of One Complex Variable I 2nd. Springer. 1978. ISBN 0-387-90328-3.
- Shurman, Jerry. Sketch of Picard's Theorem (PDF). [2010-05-18]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-10-19).