皮亞諾公理
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皮亞諾公理(英語:Peano axioms;義大利語:Assiomi di Peano),也稱皮亞諾公設,是義大利數學家朱塞佩·皮亞諾提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統,也稱皮亞諾算術系統。[1]
內容
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皮亞諾的這五條公理用非形式化方法敘述如下:
- 0是自然數;
- 每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a' ,a' 也是自然數;
- 對於每個自然數b、c,b=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數;
- 0不是任何自然數的後繼數;
- 任意關於自然數的命題,如果證明:它對自然數0是真的,且假定它對自然數a為真時,可以證明對a' 也真。那麼,命題對所有自然數都真。
其中,一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數,例如,0的後繼數是1,1的後繼數是2等等;公理5保證了數學歸納法的正確性,從而被稱為歸納法原理。
若不將0視作自然數,則公理1,4,5中的「0」要換成「1」。
更正式的定義如下:
一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x, f):
- X是一集合,x為X中一元素,f是X到自身的映射。
- x不在f的值域內。(對應上面的公理4)
- f為一單射。(對應上面的公理3)
- 若A為X的子集並滿足:
- x屬於A,且
- 若a屬於A,則f(a) 亦屬於A
- 則A = X。
正式定義可以用謂詞邏輯表示如下:
戴德金-皮亞諾結構可以描述為滿足所有以下條件的三元組 (S, f, e)
皮亞諾算術
[編輯]皮亞諾算術(PA)的公理:
- 。
- 。
- ,對於在 PA 的語言中的任何公式 。
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參見
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Giuseppe Peano. Arithmetices principia: nova methodo. Harvard University. 1889.
延伸閱讀
[編輯]- Buss, Samuel R. Chapter II: First-Order Proof Theory of Arithmetic. Buss, Samuel R. (編). Handbook of Proof Theory. New York: Elsevier Science. 1998. ISBN 9780444898401.
- Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic (Discrete Mathematics and Its Applications) 6th. Chapman and Hall/CRC. June 2015 [December 1979]. ISBN 9781482237726.
- Smullyan, Raymond M. The Gödelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs. Dover Publications. December 2013. ISBN 978-0-486-49705-1.
- Takeuti, Gaisi. Proof theory Second. Mineola, New York. 2013. ISBN 978-0486490731.
外部連結
[編輯]- Murzi, Mauro. Henri Poincaré. 《網際網路哲學百科全書》. Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.
- Podnieks, Karlis. 3. First Order Arithmetic. What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around. 2015-01-25: 93–121 [2022-12-29]. (原始內容存檔於2023-03-26).
- Hazewinkel, Michiel (編), Peano axioms, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- 埃里克·韋斯坦因. Peano's Axioms. MathWorld.
- Burris, Stanley N. What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind. 2001 [2022-12-29]. (原始內容存檔於2022-10-26). Commentary on Dedekind's work.
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