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漢克爾變換

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漢克爾變換是指對任何給定函數 以第一類貝索函數 作無窮級數展開,貝索函數 的階數不變,級數各項 作變化。各項 前係數 構成了變換函數。對於函數 , 其 階貝索函數的漢克爾變換( 為自變量)為

其中, 為階數為 的第一類貝索函數,。對應的,逆漢克爾變換 定義為

漢克爾變換是一種積分變換,最早由德國數學家赫爾曼·漢克爾提出,又被稱為傅立葉-貝塞爾變換。

正交性

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貝索函數構成 正交函數族 權重因子為 r:

其中 大於零。

與其他函數變換的關係

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傅立葉變換

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零階漢克爾函數即為圓對稱函數的二維傅立葉變換。給定二維函數 ,徑向矢量為 ,其傅立葉變換為

不失一般性,選擇極坐標 ,使得矢量 方向指向 。極坐標下的傅立葉變換寫作

其中 為矢量 間夾角。如果函數 恰為圓對稱不依賴角變量 ,對角度 的積分可以提出,傅立葉變換寫作

此式恰為 的零階漢克爾變換的 倍。

常見漢克爾變換函數對

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for -2<Re(m)<-1/2
, 可為複數

參見條目

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