漢克爾變換是指對任何給定函數
以第一類貝索函數
作無窮級數展開,貝索函數
的階數不變,級數各項
作變化。各項
前係數
構成了變換函數。對於函數
, 其
階貝索函數的漢克爾變換(
為自變量)為
![{\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)rdr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efec4cf870d0fb3f832c6fc4d623cf422586f9fc)
其中,
為階數為
的第一類貝索函數,
。對應的,逆漢克爾變換
定義為
![{\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)kdk}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f348d3ae30603d190969a5794e0a53178e4ff7)
漢克爾變換是一種積分變換,最早由德國數學家赫爾曼·漢克爾提出,又被稱為傅立葉-貝塞爾變換。
貝索函數構成 正交函數族 權重因子為 r:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r~\operatorname {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6713ceb6890a2f143fe0a927277a8fb227ba475)
其中
與
大於零。
零階漢克爾函數即為圓對稱函數的二維傅立葉變換。給定二維函數
,徑向矢量為
,其傅立葉變換為
![{\displaystyle F({\boldsymbol {k}})=\iint f({\boldsymbol {r}})e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}d{\boldsymbol {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856fc2bbd9c89a72f1a817dcc4e6b453cb0ea725)
不失一般性,選擇極坐標
,使得矢量
方向指向
。極坐標下的傅立葉變換寫作
![{\displaystyle F({\boldsymbol {k}})=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{ikr\cos \theta }rdrd\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0367a28856287ded4466f8085e4079b74cf8d595)
其中
為矢量
與
間夾角。如果函數
恰為圓對稱不依賴角變量
,
,對角度
的積分可以提出,傅立葉變換寫作
![{\displaystyle F({\boldsymbol {k}})=F(k)=2\pi \int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)rdr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fd7c8833a1fc06e3b71bc221b4c053897beee3)
此式恰為
的零階漢克爾變換的
倍。
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for -2<Re(m)<-1/2
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, 可為複數
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