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極限點

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極限點(英語:Limit point)在數學中是指可以被集合S中的點[註 1]隨意逼近的點。[註 2]

這個概念有益的推廣了極限的概念,並且是諸如閉集和拓撲閉包等概念的基礎。實際上,一個集合是閉合的若且唯若他包含所有它的極限點,而拓撲閉包運算可以被認為是通過增加它的極限點來擴充一個集合。[註 3]

定義

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定義 — 
拓撲空間的子集;若對 的某點,所有包含 開集也有 內的非 點,即:

則稱 極限點limit point)。由 的所有極限點所組成的集合稱為 導集derived set),通常記為,換句話說:

以上的定義來自於「總是可以找到一組 內的點去逼近 」的粗略想法,但一般的拓撲空間的不一定有像距離這樣的工具來比較「開集的大小」,若想以極限點嚴謹地描述「可沿著 去逼近點」的話,還需要對做額外的假設。

特殊類型的極限點

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定義 — 
拓撲空間的子集:

若包含的所有開集都包含可數 的點,則稱ω會聚點ω‐accumulation point)。

若包含 的所有開集都包含不可數的點,則稱縮合點condensation point)。

度量空間的聚集點

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度量空間 自然的帶有由度量生成的拓撲 更仔細地說,是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲,也就是裡的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話,就會等價於對定義(因為屬於某個開球等價於屬於某開集),換句話說,對度量空間可以作如下定義:

定義 — 
度量空間 ,且 ;若 ,且對所有 ,存在 使得  ,也就是

這樣稱  是   的聚集點(cluster point)或會聚點(accumulation point)

直觀上可理解為「可以用 裡的點(以度量  )無限制地逼近」。應用上, 定義域的聚集點也是函數極限能在 上有定義的前提條件。

度量空間中,ω會聚點與普通的極限點定義等價

性質

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  • 關於極限點的性質:的極限點,若且唯若它屬於 \ {}的閉包
    • 證明:根據閉包定義,某點屬於某集合的閉包,若且唯若該點的所有鄰域都和該集合相交。則有:x的極限點,若且唯若所有的鄰域都包含一個非的點屬於S,若且唯若所有的鄰域含有一個點屬於\ {x},若且唯若屬於的閉包。
  • 的閉包具有下列性質:的閉包等於和其導集的併集
    • 證明:(從左到右)設屬於的閉包。若屬於S,命題成立。若,則所有的鄰域都含有一個非的點屬於;也就是說,x的極限點,。(從右到左)設屬於S,則明顯地所有的鄰域和相交,所以屬於的閉包。若屬於L(S),則所有的鄰域都含有一個非的點屬於S,所以也屬於的閉包。得證。
  • 上述結論的推論給出了閉集的性質:集合是閉集,若且唯若它含有所有它的極限點。
    • 證明1S是閉集,若且唯若等於其閉包,若且唯若=∪ L(S),若且唯若L(S)包含於S
    • 證明2:設是閉集,的極限點。則必須屬於S,否則的補集為的開鄰域,和不相交。相反,設包含所有它的極限點,需要證明的補集是開集。設屬於的補集。根據假設,x不是極限點,則存在的開鄰域U不相交,則U的補集中,則的補集是開集。
  • 孤點不是任何集合的極限點。
    • 證明:若是孤點,則{x}是只含有的鄰域。
  • 空間離散空間,若且唯若的子集都沒有極限點。
    • 證明:若是離散空間,則所有點都是孤點,不能是任何集合的極限點。相反,若不是離散空間,則單元素集合{x}不是開集。那麼,所有{x}的鄰域都含有點yx,則的極限點。
  • 若空間密著拓撲,且的多於一個元素的子集,則的所有元素都是的極限點。若單元素集合,則所有\的點仍然是的極限點。
    • 說明:只要\ {x}非空,它的閉包就是X;只有當是空集或的唯一元素時,它的閉包才是空集。
  • T1空間,則 的極限點等價於 的每個鄰域皆包含無限多個 的點。[註 4]

注釋

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  1. ^ 不包含極限點本身
  2. ^ 非正式的說法是在拓撲空間 X 中的一個集合 S 的極限點x可以被除x以外的集合內任意點逼近
  3. ^ 一個有關的概念是序列的聚集點(cluster point)或會聚點(accumulation point)。
  4. ^ 在定義中使用「開鄰域」的形式來證明一個點是極限點,使用「一般鄰域」的形式來得到一個已知極限點的性質,這樣通常會比較輕鬆。

引用

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