時鐘問題

2:20時指針之間的角度關係

時鐘問題（又稱鐘錶問題）是一類與時鐘有關的數學問題。這類題常見於中國大陸小學奧林匹克數學，以及中國國家公務員考試中。

概述

求解這類型題的關鍵在於找到時間與角之間的關係。解題中角一般用角度制表示，時間使用十二小時制。求解技巧有列方程、使用追及問題模型等。

公式

時針在12小時內轉過1周（360°），故時針1小時轉30°，1分鐘轉0.5°。分針1小時轉360°，故1分鐘轉6°。由此可以推出以下公式：

當時間為H時M分時，時針與12點鐘方向夾角的角度數（$\theta _{\text{hr}}$）為：

$\theta _{\text{hr}}={\frac {1}{2}}(60H+M)$

分針與12點鐘方向夾角的角度數（$\theta _{\text{min.}}$）為：

$\theta _{\text{min.}}=6M$

時針與分針之間的夾角為：

${\begin{aligned}\Delta \theta &=\left|\theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H+M)-6M\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H-11M)\right|\end{aligned}}$

例題

2:00到3:00之間，哪一時刻時針與分針重合？

解：若且唯若$\theta _{\text{hr}}=\theta _{\text{min.}}$時，時針與分針重合。依公式有，

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}(60H+M)&=6M\\11M&=60H\\M&={\frac {60}{11}}H\end{aligned}}$

代入$H=2$，得$M=10{\frac {10}{11}}$。即2時$10{\frac {10}{11}}$分，時針與分針重合。

參見

• 時鐘