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支撐集

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支撐集(英語:support,簡稱支集),是一個數學概念,它是集合的一個子集,要求對給定的上定義的實值函數在這個子集上恰好非0。最常見的情形是,是一個拓撲空間,比如實數軸等等,而函數在此拓撲下連續。此時,的支撐集被定義為這樣一個閉集中為,且不存在閉子集也滿足這個條件,即,是所有這樣的子集中最小的一個。拓撲意義上的支撐集是點集意義下支撐集的閉包

特別地,在機率論中,一個機率分布隨機變數的所有可能值組成的集合的閉包。

閉支撐

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常見的情況出現為:是一個拓撲空間(例如實數軸或n維歐幾里得空間),並且連續的實值函數(或複值函數)。此時,的支撐在拓撲上定義為使得非零的子集的閉包[1][2][3] ,即:

由於閉集的交集也是閉集,所以是集合論中所有包含支撐的閉集的交集。

例如,定義如下:

的支撐是閉區間,因為在開區間非零,其閉包為

閉支撐的概念通常用於描述連續函數,但該定義對拓撲空間上的任意實值或複值函數都有意義,有些作者不要求 (或 不需要)連續。[4]

緊支撐

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如果某函數的支撐集是 中的一個緊集,此函數被稱為是緊支撐於空間 的。例如,若 是實數軸,那麼所有在無窮遠處消失的函數都是緊支撐的。事實上,這是函數必須在有界集外為的一個特例。在好的情形下,緊支撐的函數所構成的集合,在所有在無窮遠處消失的函數構成的集合中,是稠密集的,當然在給定的具體問題中,這一點可能需要相當的工作才能驗證。例如對於任何給定的 ,一個定義在實數軸 上的函數 在無窮遠處消失,可以粗略通過選取一個緊子集 來描述:

其中 表示 指示函數

注意,任何定義在緊空間上的函數都是緊支撐的。

當然也可以更一般地,將支撐集的概念推廣到分布,比如狄拉克函數:定義在直線上的 。此時,我們考慮一個測試函數 ,並且 是光滑的,其支撐集不包括 。由於 (即 作用於 )為 ,所以我們說 的支撐集為 。注意實數軸上的測度(包括機率測度)都是分布的特殊情況,所以我們也可以定義一個測度支撐集。

奇支集

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傅立葉分析的研究中,一個分布的奇支集或奇異支集有非常重要的意義。 直觀地說,這個集合的元素都是所謂的奇異點,即使得這個分布不能局部地看作一個函數的點。

例如,單位階躍函數傅立葉轉換,在忽略常數因子的情況下,可以被認為是,但這在時是不成立的。所以很明顯地,是一個特殊的點,更準確地說,這個分布的傅立葉轉換的奇支集是,即對於一個支撐集包括的測試函數而言,這個分布的作用效果不能表示為某個函數的作用。當然這個分布可以表示為一個柯西主值意義下的瑕積分

對於多變量的分布,奇支集也可以更精確地被描述為波前集,從而可以利用數學分析來理解惠更斯原理。奇支集也可以用來研究分布理論中的特殊現象,如在試圖將分布'相乘'時候導致的問題(狄拉克函數的平方是不存在的,因為兩個相乘的分布的奇支集必須不相交)。

支撐族

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支撐族是一個抽象的拓撲概念,昂利·嘉當在一個中定義了這個概念。在將龐加萊對偶性推廣到非緊的流形上的時候,在對偶的一個方面上引入緊支撐的概念是自然的。

Bredon的書《Sheaf Theory》(第二版 1997)中給出了這些定義。的一組閉子集是一個支撐族,如果它是下閉的並且它的有限並也是閉的。它的擴張的並。一個仿緊化(paracompactifying)的支撐族對於任何,在子空間拓撲意義下是一個仿緊空間,並且存在一些是一個鄰域。如果是一個局部緊空間,並且是郝斯多夫空間,所有的緊子集組成的族滿足上的條件,那麼就是仿緊化的。

參考文獻

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  1. ^ Folland, Gerald B. Real Analysis, 2nd ed.. New York: John Wiley. 1999: 132. 
  2. ^ Hörmander, Lars. Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.. Berlin: Springer-Verlag. 1990: 14. 
  3. ^ Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Bocconi & Springer Series. Berlin: Springer-Verlag. 2011: 678. ISBN 978-88-470-1780-1. doi:10.1007/978-88-470-1781-8. 
  4. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.