擴展實數線又稱廣義實數(英語:extended real number),由實數線
加上
和
得到(注意
和
並不是實數),寫作
、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時,符號 +∞常簡寫成∞。擴展的實數線在研究數學分析,特別是積分時非常有用。
對任意實數
,定義
,擴展的實數軸就成了一個全序集。這種集合有種非常好的性質,就是其所有子集都有上確界和下確界:這是一個完備格。全序關係在
上引入了拓撲。在這個拓撲中,集合
是
的鄰域,若且唯若它包含集合
,這裡
是某個實數。
的鄰域類似。
是個緊緻的郝斯多夫空間,與單位區間
同胚。
上的算術運算可以部分地擴展到
,如下:
![{\displaystyle {\begin{array}{l}a+\infty =+\infty +a=+\infty &a\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a=-\infty &a\neq +\infty \\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right]\\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\mp \infty &a\in \left[-\infty ,0\right)\\{\dfrac {a}{\pm \infty }}=0&a\in \mathbb {R} \\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right)\\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty &a\in \left(-\infty ,0\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0989b6e10d56a6a8c5b3d797ff0ba19e9bf06b3)
通常不定義
,
。同時
也不定義為
(因為這樣忽視了
),這些規則是根據無窮極限的性質確定的。
注意在這些定義下,
不是域,也不是環。
經過上述定義,擴展的實數軸仍有很多實數的性質:
和
相等或同時沒有定義。
和
相等或同時沒有定義。
和
相等或同時沒有定義。
和
相等或同時沒有定義。
和
若都有定義則相等。
- 若
且
和
都有定義,則
。
- 若
且
且
和
都有定義,則
。
通常只要表達式都有定義,所有算術性質在
上都成立。
使用極限,一些函數可以自然地擴展到
。例如可以定義
等。