微磁學是磁學的一個分支。其研究對象為介觀尺度下鐵磁體的磁化過程。該尺度足夠大,大到到原子的大小可忽略不計,因此在該尺度下材料的磁學特性是連續的;然而該尺度又足夠小,小到可以看清磁疇的結構。微磁學主要解決兩類問題:
- 靜微磁學:通過最小化磁學能量,得到系統的穩定解;
- 動微磁學:通過解朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式(Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG),得到系統的動力學解。
假定在鐵磁體內某區域
中存在
個磁矩
。
那麼區域內的平均磁矩可以表示為
。
連續性假設認為在鐵磁體內任意一點,
。
式中
為飽和磁化強度。其意義在於小區域
內可以近似地認為所有磁矩都是指向同一方向的。這是交換作用在小區域內的結果(交換作用傾向於使得磁矩指向同一方向)。連續性假設是微磁學的基礎。
靜微磁學的目標是求得平衡態下磁體內磁矩的空間分布情況。當溫度低於居里溫度時,由連續性假設,磁化強度的大小
總是等於
。所以問題簡化為求磁矩的方向,或稱約化磁化強度
。
鐵磁體內的總能量密度可表示為
![{\displaystyle E=E_{\text{exch}}+E_{\text{anis}}+E_{\text{Z}}+E_{\text{demag}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01bb935d33f49aa41c3cf8871d90b33980ce73c)
其中
為總能量密度,
為交換能,
為各向異性能,
為賽曼能,
為退磁場能。
交換能是與磁矩之間的交換作用相關的能量。
交換能可表示為:
式中
為交換作用常數,
是磁矩
在三個方向上的分量。如前所述,交換作用傾向於使磁矩統一指向一個方向,因為在這時交換作用能最低。
各向異性能來自於材料的微觀各向異性,與晶體結構的對稱性有關。
各項異性能可表示為
![{\displaystyle E_{\text{anis}}=\int _{V}F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )\mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74452135d0e3ca5dbd23f690d86d7ac55314c321)
式中
是各向異性能密度,與磁矩的指向方向有關。磁矩的指向方向為易軸時,各向異性能最低。
賽曼能來源於磁矩和外加磁場的作用。當磁矩與外場方向一致時,該能量最低。
賽曼能可表示為
![{\displaystyle E_{\text{Z}}=-\mu _{0}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{a}}\mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ba7e84ef15b6d7c213ba388f54d421e5df16cf)
其中
是外加磁場,
是真空磁導率。
退磁場是磁距在鐵磁體內部給自己施加的場。
退磁場能可表示為
![{\displaystyle E_{\text{demag}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}\mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802ff289b33e302367b673c9e7c422ae39e77572)
式中
是退磁場。這個場的大小與方向是磁矩的分布決定的:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}=-\nabla \cdot \mathbf {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c18d3a4f349117581c134b4c503ce760fb4f542)
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{\text{d}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7be131875a1ab3f0d6b9ca935f15b0e04307ac)
式中−∇·M又被稱為磁荷密度。從式中可以看出,退磁場來源於磁矩M分布的不均勻性(若分布均勻則
)。這些方程的解是:
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{d}}=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {M} {\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698b05d007f67c11114b02c237450592625dfaa4)
式中r是從積分點指向觀察點的矢量。
值得注意的是,在平衡態下,總能量最低,但並不代表每項能量都處於最低狀態。實際上磁矩經常不均勻分布,以增加交換能的代價降低了退磁場能,而使得總能量最低。
動微磁學的研究對象是磁矩在等效場下隨時間的演化過程。該過程可以由解朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式(Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)得出。
等效場是磁矩感受到的所有場的總和。它可以由以下公式描述:
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }=-{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25400582086bbd64c761f39911c7a69f750d76f)
式中dE/dV是能量密度。
由能量密度的表達式,可以計算出:
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }={\frac {2A}{\mu _{0}M_{s}}}\nabla ^{2}\mathbf {m} -{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\partial F_{\text{anis}}}{\partial \mathbf {m} }}+\mathbf {H} _{\text{a}}+\mathbf {H} _{\text{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4068eeadd911566251c0db555301d89c34f806)
LLG方程是磁矩的動力學方程。它描述了磁矩在等效場下的拉莫爾進動,以及一個阻尼項。
LLG方程可表示為
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-|\gamma |\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d33d4dbebfe91172cf4b396c1ef2e8dbe1753ac)
在數學上可以推出LLG方程等價於下面的方程(又稱為LL方程):
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-{\frac {\alpha |\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times (\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3ace13cafefaf42e6c43cbbb0913766ff5b2e4)
式中
為旋磁比,
為Gilbert阻尼常數。
微磁學可用於計算機硬碟的磁頭和磁介質、永磁體的研發。
早期由於計算機運算能力不足,對微磁學的研究以理論推導為主。80年代後隨著計算機技術的進展,計算機模擬成為重要手段。常用的模擬軟體有oommf[1]、magpar[2]等。最近幾年隨著GPU通用計算的發展,出現了一批GPU加速的模擬軟體如mumax[3]、GPMagnet[4]和TetraMag[5]等。
1963年William Fuller Brown Jr.發表了一篇關於反平行磁疇結構的文章,代表了這一領域的開端[6]。
<references>
- ^ 存档副本. [2014-04-23]. (原始內容存檔於2022-01-28).
- ^ 存档副本. [2014-04-23]. (原始內容存檔於2022-02-21).
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- ^ 存档副本. [2014-04-23]. (原始內容存檔於2019-11-30).
- ^ 存档副本. [2014-04-23]. (原始內容存檔於2016-12-02).