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形變收縮

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拓撲學中,收縮retraction),顧名思義是將整個空間收縮到一個子空間形變收縮deformation retraction)是將空間「連續收縮」成一個子空間的映射

定義

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收縮

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X 是一個拓撲空間AX 的一個子空間。那麼連續映射

是一個收縮如果 rA 上的限制[錨點失效]A 上的恆等映射;這就是說,r(a) = a 對所有 a 屬於 A。等價地,記

為包含,一個收縮是一個連續映射 r 使得

r 與 包含的複合是 A 的恆等。注意,由定義,一個收縮映射 X 映滿 A。如果存在收縮映射,則子空間 A 稱為 X 的一個收縮核retract)。例如,任何空間以顯然的方式收縮到一點(取常數映射為收縮)。

如果 X 嵌入任何正規空間 Y,作為 Y 的閉子集,XY 的收縮核,則空間 X 稱為絕對收縮核(或 AR)。

鄰域收縮

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如果存在一個開集 U 使得

AU 的一個收縮核,則 A 稱為 X 的一個鄰域收縮核

如果空間 X 閉嵌入任何正規空間 Y中,XY 的一個鄰域收縮核,稱為 X 為一個絕對鄰域收縮核(或 ANR)。

形變收縮與強形變收縮

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稱連續映射

是一個形變收縮,如果對任何x 屬於 Xa 屬於 A

,以及

換句話說,形變收縮是收縮與 X 上恆等映射的同倫。子空間 A 稱為 X形變收縮核。形變收縮核是一類特殊的同倫等價

收縮不一定是形變收縮。例如,以一個單點作為形變收縮核意味著是道路連通的(事實上這個空間是可縮的)。

:形變收縮的另一個等價的定義如下。連續映射 r: XA 是一個形變收縮如果它是一個收縮且它與包含映射的複合同倫於 X 上的恆等映射。在這種表述下,一個形變收縮得出它與 X 上的恆等映射之間的一個同倫。

如果在形變收縮的定義中,我們添加條件:

對多有 t 屬於 [0, 1],d 稱為一個強形變收縮strong deformation retraction)。換句話說,強形變收縮在同倫中保持 A 中的點不動(也有一些作者將其作為形變收縮的定義)。

鄰域形變收縮

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U 中的空間偶 稱為 NDR-偶如果存在映射 使得 與同倫 ,使得 對所有 對所有 ,以及 對所有 。二元組 稱為 作為 NDR-偶的一個表示。

性質

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形變收縮是一種特殊的同倫等價。事實上,兩個空間是同倫等價當且僅當他們都是另一個大空間的形變收縮核。

任何能形變收縮成一點的拓撲空間稱為可縮的,反之亦然。但是存在可縮空間不能強形變收縮成一點。

引用

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