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射影線性群

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群論


射影線性群代數學群論中的一類的稱呼。射影線性群也叫射影一般線性群(一般記作 PGL),是某個係數域為向量空間V上的一般線性群射影空間 P(V) 上誘導的群作用。具體來說,射影線性群是商群

其中的V上的一般線性群,而是由V上的所有數乘轉換構成的子群[1]。之所以在中約去,是因為它們在射影空間上的作用是平凡的(所以構成群作用的)。 有時也被記作 ,因為它是一般線性群的中心

與射影線性群類似的還有射影特殊線性群,一般記作PSL。它的定義與射影線性群相似,只不過不是在一般線性群而是在特殊線性群上。

其中的V上的特殊線性群,而中的子群(即行列式等於1的數乘轉換構成的子群)[1]。顯然 的中心。若n 維空間),則 同構於由n單位根構成的群。

射影線性群與射影特殊線性群都是群論和幾何中最常研究的群,即所謂的「經典群」。射影線性群中的元素稱為射影線性轉換n 維空間),那麼這個射影線性群也記作

若且唯若 中每一個元素的n都在 中,例如在 代數封閉(比如是複數域 )的時候,射影線性群與射影特殊線性群等同。。但是係數域為實數的時候,就有[2]。幾何的解釋是:實射影直線是有向的,而實射影特殊線性群只包括保持定向的轉換。

射影線性群與射影特殊線性群也可以在上定義,一個重要的例子是模群

參考來源

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  1. ^ 1.0 1.1 Onorato Timothy O'Meara, Conference Board of the Mathematical Sciences. Lectures on linear groups. American Mathematical Soc. 1974. ISBN 9780821816721. 
  2. ^ Gareth A. Jones and David Silverman. (1987) Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint. Cambridge UP. Discussion of PSL and PGL on page 20 in google books頁面存檔備份,存於網際網路檔案館