向量分析
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微積分學 |
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向量分析,或稱為向量微積分(英語:Vector calculus)是數學的一個分支,主要研究在3維歐幾里得空間中向量場的微分和積分。「向量分析」有時也用作多元微積分的代名詞,其中包括向量分析,以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。
向量分析在微分幾何與偏微分方程式的研究中起著重要作用。它被廣泛應用於物理和工程中,特別是電磁場、引力場和流體流動的描述中。
向量分析由約西亞·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世紀末從四元數分析發展而來,大多數符號和術語由吉布斯和愛德華·比德韋爾·威爾遜在《向量分析》(1901)中提出。向量演算的常規形式中使用外積,不能推廣到更高維度,而另一種幾何代數的方法運用了可推廣的外積,下文將會討論。
基本物件
[編輯]純量場
[編輯]純量場將空間中的每點與純量值相關聯。純量是代表物理量的數字。純量場的應用如空間中的溫度分布、流體中的壓強分布、零旋量子場(稱為純量玻色子)如希格斯場。這些場是純量場論的研究物件。
向量場
[編輯]向量場將向量分配給空間中的每一點。[1]例如,平面中的向量場可形象地理解為一組箭頭的集合,每個都有給定的大小與方向,並與平面上的點相關聯。向量場常用於模擬運動流體在整個空間中的速度和方向,或某種力(如磁力或引力)在點之間變化時的強度和方向。例如,這可用於計算在一條線上所做的功。
向量和偽向量
[編輯]在更高級的處理中,進一步區分了偽向量場和贗純量場,它們只在反向映射下符號會變化:例如,向量場的旋度是偽向量場,若反射一個向量場,旋度會指向相反的方向。這種區別在幾何代數中有闡述,下詳。
向量運算
[編輯]代數運算
[編輯]向量分析中的基本代數(非微分)的運算稱為向量代數,定義在一向量空間,然後應用到整個向量場,基本代數運算有:
運算 | 記作 | 描述 |
---|---|---|
向量加法 | 兩個向量相加,產生向量。 | |
純量乘法 | 純量和向量相乘,產生向量。 | |
內積 / 點積 | 兩個向量相乘,產生純量。 | |
外積 / 叉積 | 中兩向量相乘,產生(偽)向量。 |
兩種三重積也比較常見:
運算 | 記作 | 描述 |
---|---|---|
純量三重積 | 向量與兩向量叉積的點積。 | |
向量三重積 | 向量與兩向量叉積的叉積。 |
三重積不常作為基本運算,不過仍可以用內積及外積表示。
微分運算
[編輯]向量分析研究定義在純量場或向量場定義的不同微分算子,通常用的向量算子(∇)來表示,也被稱為「Nabla算子」。向量分析的五個最重要的微分運算:
算子 | 表示 | 敘述 | 界域 |
---|---|---|---|
梯度 | 純量場 於場中某點增加率最大的速率與方向 | 純量場的梯度是向量場 | |
散度 | 向量場 於場中某點附近發散或匯聚的程度 | 向量場的散度是純量場 | |
旋度 | 向量場 於場中某點附近旋轉的程度 | 向量場的旋度是向量場 | |
向量拉普拉斯算子 | 均值在無窮小的球內向量場的值不同的程度 | 向量場的向量拉普拉斯是向量場 | |
拉普拉斯算子 | 對純量場 作梯度運算後,再作散度運算 | 純量場的拉普拉斯是純量場 |
定理
[編輯]同樣,也有幾個與這幾個相關的重要定理,將微積分基本定理拓展到了更高維度:
定理 | 表示 | 註解 |
---|---|---|
梯度定理 | 梯度(向量)場中的曲線積分與它的純量場中兩個端點的差。 | |
格林定理 | 平面內向量場中區域的純量旋度,等於向量場沿逆時針方向的封閉曲線的線積分。 | |
斯托克斯定理 | 內向量場的旋度的曲面積分,等於向量場在曲面邊界上的線積分。 | |
高斯散度定理 | ![]() |
向量場的散度對體積的積分,等於穿過包圍體積的閉曲面通量的積分。 |
應用
[編輯]線性近似
[編輯]線性近似用幾乎相同的線性函數代替複雜函數。給定實值可微函數,對接近的,可以用下式近似
右式是圖形在處切線的平面方程式。
最佳化
[編輯]對連續可微多變量函數,若其所有偏導數在P點都為零(梯度為零),則P點是一個臨界點。臨界值是函數在臨界點上的值。
若函數光滑,或至少2次連續可微,則臨界點可能是局部極值或鞍點。考慮二階導的黑塞矩陣的特徵值,可以區分不同情形。
由費馬引理,可微函數的局部極值都出現在臨界點上。因此,要找到局部極值,只需計算梯度的零點及當處的黑塞矩陣特徵值。
物理學與工程學
[編輯]向量分析尤其適於研究
推廣
[編輯]向量分析還可推廣到其他3-流形及高維空間。
不同3-流形
[編輯]向量分析起初是在歐氏空間中,不僅是3維實向量空間,還具有額外結構,即:由內積定義範數(給出長度概念),又引出角度與方向,方向又分左右手。這些結構產生了體積形式,以及在向量分析中常用的叉積。
梯度與散度只需要內積,旋度和叉積還需要考慮坐標軸的手性。
若其他3維實向量空間有內積(或更一般的對稱非退化形式)核方向,向量分析就可在這些空間上定義;這比歐氏空間的同構數據要少,因為不需要坐標軸集(參照系),這反映了向量分析在旋轉(特殊正交群SO(3))下不變的事實。
更一般地說,向量分析可定義在任意3維有向黎曼流形,或更一般的偽黎曼流形上。這種結構就是每點的切空間都有內積與方向,更一般地說是有對稱非退化度量張量與方向。向量分析根據每點的切向量定義,所以有效。
其他維度
[編輯]大多數分析結果都可以通過微分幾何機制輕鬆理解,向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子(產生調和分析)可輕易推廣到其他維度,而旋度和叉積則不能直接推廣。
從一般觀點來看,(3維)向量分析中的各種場被統一視作k向量場:純量場是0-向量場,向量場是1-向量場,偽向量場是2-向量場,偽純量場是3-向量場。在更高維度中,還有更多類似的場(純量/向量/偽向量/偽純量對應0/1/n-1/n維,這在3維中詳盡無遺),因此不能只用(偽)純量和(偽)向量。
在任意維度中,假定一個非退化形式,純量函數的梯度是向量場,而向量場的散度是純量函數,但只有3維、7維[2](1維、0維是平凡的)中,才能定義叉積(其他維度的推廣或要n-1個向量才能得到一個向量,或要用李代數代替,即更一般的反對稱雙線性積)。總之,向量場的旋度是二重向量場,可解釋為無窮小旋轉的特殊正交李代數;但這不能視作向量場,因為維數不同——3維旋轉有3維,但4維旋轉有6維(n維中的旋轉有維)。
向量分析有兩個重要的替代性推廣。第一個是幾何代數,用k向量場(3維及以下時,k向量場都可用純量函數或向量場識別,但更高維並非如此)。外積取代了叉積,可在所有維度中,由兩個向量場輸出一個二重向量場。這產生了作為向量空間上代數結構的克里福代數(具有有向非退化形式)。幾何代數主要用於物理學等應用領域向更高維的推廣。
第二個運用微分形式(k余向量場),在數學中有廣泛應用,尤常見於微分幾何、幾何拓撲、調和分析等領域,在有向偽黎曼流形上產生了霍奇理論。從這個角度看,梯度、旋度、散度分別對應0形式、1形式、2形式的外導數,而向量分析的關鍵定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。
從這兩種推廣來看,向量分析隱式地標識了不同的數學物件,使表述更簡單,但底層的數學結構與推廣卻不那麼清晰。從幾何代數的角度來看,向量分析隱式地將k向量場與向量場與純量函數區分開來:0向量與3向量同純量有關,1向量和2向量同向量有關。從微分形式的角度來看,向量分析隱式地將k形式同純量場與向量場相聯繫:0形式、3形式與純量場有關,1形式、2形式與向量場有關。因此,舉例來說,旋度自然地將向量場或1形式作為輸入,將2向量場或2形式作為輸出(因此是偽向量場),然後將其解釋為向量場,而非直接從向量場映射到向量場,這在高維空間反映為旋度的輸出不是向量場。
參見
[編輯]參考文獻
[編輯]腳註
[編輯]- ^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel. Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012: 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
- ^ Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124
參考資料
[編輯]- Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
- Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System reprint. Dover Publications. 1967. ISBN 978-0-486-67910-5.
- Marsden, J. E. Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. 1976. ISBN 978-0-7167-0462-1.
- Schey, H. M. Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. 2005. ISBN 978-0-393-92516-6.
- Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
- Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
外部連結
[編輯]- The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields
- Hazewinkel, Michiel (編), Vector analysis, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Hazewinkel, Michiel (編), Vector algebra, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) (1994) Tai, Chen-To
- Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.
延伸閱讀
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