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雙模

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抽象代數中,一個雙模bimodule)是一個既為左也為右模的阿貝爾群,且左右乘法相容。除了自然出現於許多數學領域,雙模也扮演著澄清的角色,許多左模與右模之間的關係當將其用雙模來表示時變得簡單。

定義

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如果 RS 是兩個環,則一個 R-S-雙模是一個阿貝爾群 M 使得:

  1. M 是一個左 R-模和一個右 S-模;
  2. 對所有 r 屬於 Rs 屬於 S 以及 m 屬於 M
(rm)s = r(ms).

一個 R-R-雙模也稱為 R-雙模。

例子

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  • 對正整數 nmn × m 實數矩陣集合 Mn,m(R) 是一個 R-S 雙模,這裡 Rn × n 矩陣環 Mn(R),而 Sm × m 矩陣環 Mm(R)。加法與乘法是通常的矩陣加法矩陣乘法;矩陣的高度與寬度已選定故可以定義乘法。注意到 Mn,m(R) 自己不是一個環(除非 n = m)因為兩個 n × m 矩陣相乘沒有定義。雙模的關鍵性質 (r x)s = r(x s),即矩陣乘法服從結合律的陳述。
  • 如果 R 是一個環,則 R 自身是一個 R-雙模,同樣 RnRn-重直積)。
  • R 的任何雙邊理想是一個 R-雙模。
  • 交換環 R 上任何模自然是一個雙模。例如若 M 是一個左模,我們可以定義在右邊的乘法與在左邊的乘法一樣(但不是所有 R-雙模都是這樣的)。
  • 如果 M 是一個左 R-模,則 M 是一個 R-Z 雙模,這裡 Z整數環。類似地,右 R-模可理解為 Z-R 雙模,事實上一個阿貝爾群可以視為一個 Z-Z 雙模。
  • 如果 RS 的一個子環,則 S 是一個 R-雙模。它也是一個 R-SS-R 雙模。

其他概念與事實

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如果 MNR-S 雙模,則一個映射 f : MN 是一個雙模同態如果它既是左 R-模同態也是右 S-模同態。

一個 R-S 雙模事實上與環 上一個左模是一回事,這裡 SopS 的反環(將乘法給變順序)。雙模同態與左 模同態一樣。利用這些事實,許多關於模的定義與陳述可立即翻譯為雙模的定義與陳述。例如,所有 R-S 雙模之範疇阿貝爾的,標準同構定理對雙模也成立。

但是在雙模的世界中仍有某些新結果,特別是張量積:如果 M 是一個 R-S 雙模而 N 是一個 S-T 雙模,則 MN 的張量積(在環 S上取)自然是一個 R-T 雙模。這個雙模的這個張量積是結合(相差惟一一個典範同構),從而我們可以構造一個範疇,其對象是環而態射是雙模。進一步,如果 M 是一個 R-S 雙模而 L 是一個 T-S 雙模,則集合 HomS(M,L) of 所有從 ML S-模同態成為一個自然的 T-R 雙模。這些論述推廣為導出函子 ExtTor

副函子英語Profunctor可以視為雙模的一個範疇推廣。

注意雙模的概念與雙代數完全無關。

相關條目

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參考文獻

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