近年來,協變經典場論又引起了研究者的興趣。動力學在這裡用有限維空間的在時空中的給定時間點上的場來表述。射流叢現在被認為是這種表述的正確定義域。
本文給出一階經典場論的協變表述的一些幾何結構。
本條目記法和射流叢條目所引入的一致。並令
表示有緊支撐的
的截面。
一個經典場論數學上可以如下表述
- 一個纖維叢
,其中
表示一個
維時空。
- 一個拉格朗日量形式
![{\displaystyle \Lambda :J^{1}\pi \rightarrow \Lambda ^{n}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606e300f78776669c9aa912aa6471b5aebfd093f)
令
代表
上的體積形式,則
,其中
是拉格朗日量函數。
我們在
上選擇纖維化坐標
,使得
![{\displaystyle \star 1=dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7beee20b2e210526b9d00874670d7dbffc45110)
作用量積分定義為
![{\displaystyle S(\sigma )=\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma )^{*}\Lambda \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c55d501526c00e4e4fd68f7f22d43a59779ad35)
其中
,並定義於開集
,而
代表其第一射流延長(jet prolongation)。
截面
的變分由曲線
給出,其中
是一個
上的
-豎直向量場
的流,它在
上有緊支撐。
截面
稱為變分的駐點,如果
![{\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma _{t})^{*}\Lambda =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dca70a60629aab83c907028b6e6ed8299658570)
這等價於
![{\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\Lambda =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdb2ee212d19d1491a9a811621787fadfd9a440)
其中
代表
的第一延長,按李導數的定義。
使用嘉當公式,
, 斯托克斯定理以及
的緊支撐,可以證明這等價於
![{\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9f262d2474a406b9cd660850d45beef6846e37)
考慮一個
的
-豎直向量場
![{\displaystyle V=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca13620760abb9935fa76a53da05bd2f3fc6a597)
其中
。採用切觸形式
on
,我們可以計算
的第一延長。然後得到
![{\displaystyle V^{1}=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd967d68fdc36521bb7c3ba0a42ed8b5639a4d05)
其中
。
據此,可以證明
![{\displaystyle i_{V^{1}}d\Lambda =\left[\beta ^{\alpha }{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\right]\star 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ba7cd06e04b7189eaf530643a81d7373125205)
因而
![{\displaystyle (j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =\left[(\beta ^{\alpha }\circ \sigma ){\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}\circ \sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}\circ \sigma \right){\frac {\partial \sigma ^{j}}{\partial x^{i}}}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right]\star 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f663fa798bc9ce0bf294aff72496766a0b69c9)
分部積分並考慮
的緊支撐,臨界條件變為
|
|
|
|
因為
為任意函數,我們得到
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beaf3fecbe2b1a86b33cf06123871b1461d152a2)
這些就是歐拉-拉格朗日方程組。
- Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
- Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
- De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
- Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
- Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
- Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories[永久失效連結], May 1995