伴隨勒讓德多項式(Associated Legendre polynomials,又譯締合勒讓德多項式、連帶勒讓德多項式、關聯勒讓德多項式)[1]是數學上對如下形式常微分方程解函數序列的稱呼:
![{\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {d^{2}\,y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42729a1f0fe5dbb09f07c0e1e0c9782b08f519fb)
該方程是在球坐標系下求解拉普拉斯方程時得到的,在數學和理論物理學中有重要的意義。
l=5時連帶勒讓德多項式的圖像
因上述方程僅當
和
均為整數且滿足
時,才在區間 [−1, 1] 上有非奇異解,所以通常把
和
均為整數時方程的解稱為伴隨勒讓德多項式;把
和/或
為一般實數或複數時方程的解稱為廣義勒讓德函數(generalized Legendre functions)。
當
、
為整數時,方程的解即為一般的勒讓德多項式。
注意當 m 為奇數時,連帶勒讓德多項式並不是多項式。
與勒讓德多項式一樣,連帶勒讓德多項式在區間 [-1,1] 上也滿足正交性。
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)\mathrm {d} x={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb6523e5aaaf5fb6c5882fc70889dda86ab009c)
這是因為,與勒讓德方程一樣,連帶勒讓德方程也是施圖姆-劉維爾型的:
![{\displaystyle \left\{{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right]\right\}P_{l}^{m}(x)=\lambda P_{l}^{m}(x),\quad \lambda =l(l+1),l\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e0ca7ede600090cee6a35e1950e70cfbbafef2)
正交性的另一種表述如下,它與下面提到的球諧函數有關。
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )P_{k}^{m}(\cos \theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929bca2b8238b5c13258b3ba7201d45faa16439f)
連帶勒讓德多項式可以由勒讓德多項式求 m 次導得到:
![{\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}P_{l}^{(m)}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36aedbf099812a6764ebc5db640372ce2dcf2fd)
等號右邊的上標 (m) 表示求 m 次導。
連帶勒讓德函數(即 l, m 不一定要是整數)可以用高斯超幾何函數表達為:
![{\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\nu ,\nu +1,1-\mu ,{\frac {1-z}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50eeaf502ab27818345dc3cff16d39e6048d46c5)
注意 μ 為正整數 m 時 1-μ 是伽瑪函數的奇點,此時等號右邊的式子應該理解為當 μ 趨於 m 時的極限。
顯然連帶勒讓德方程在變換 m→-m 下保持不變,傳統上習慣定義負數階連帶勒讓德多項式為:
![{\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x),\quad m=1,\ldots ,l;l\in \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282a4c9c6e42a5a4fa2d965d8f6b69f7526e4032)
容易驗證,這樣定義的連帶勒讓德多項式能夠使得上面的正交關係可以推廣到 m 為負數的情況。
注意在個別文獻(如上面的圖,以及球諧函數一文)中會直接取
![{\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=P_{l}^{m}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df1604f2b28a235c2b3386294b267ec625dd5a4)
本文不採用這種定義。
球諧函數是球坐標下三維空間拉普拉斯方程的角度部分的解,構成一組完備的基組,有著重要的意義。
採用本文中定義的連帶勒讓德多項式的表達式,球諧函數可以表達為:
![{\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}{\frac {2l+1}{4\pi }}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80739b8a8eeb2a78632fb067c0773b0075d3970)
由連帶勒讓德多項式的正交關係可以直接得到球諧函數的正交關係:
![{\displaystyle \int Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )Y_{k}^{n*}(\theta ,\phi )\mathrm {d} \Omega =\delta _{kl}\delta _{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ca71fe24b6cd31855ee4093af04d779e8b9b5e)
式中 dΩ 是立體角元。
- ^ 吳崇試. 16. 数学物理方法(第二版). 北京大學出版社. [2003]. ISBN 9787301068199.
- Dunster, T. M., Legendre and Related Functions, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248