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交錯群

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群論


數學中,交錯群alternating group)是一個有限集合偶置換。集合 上的交錯群稱為 階交錯群,或 個字母上的交錯群,記做

例如,4 階交錯群是 (參見輪換記法)。

基本性質

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,群對稱群 交換子群指數為 2,從而有個元素。它是符號群同態

阿貝爾若且唯若 ,是單純群若且唯若 。注意 事實上是 3 階單純群。 是 1 階群,一般不稱為單純群的,而 有一個非平凡正規子群從而不是單純群。是最小非阿貝爾單純群,階數為 60,也是最小不可解群

共軛類

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對稱群中, 的共軛類由有相同輪換型的元素組成。但是如果輪換類型只由沒有兩個長度相等的奇數長的輪換組成,這裡長為 1 的輪換包含在輪換型中,則對這樣的輪換型恰有兩個共軛類 (Scott 1987,§11.1, p299)。

例如:

  • 兩個置換 (123) 與 (132) 有相同的輪換型從而在 S3 中共軛,但在 A3 中不共軛。
  • 置換 (123)(45678) 與其逆 (132)(48765) 有相同的輪換型所以在 S8 中共軛,但在 A8 中不共軛。

自同構群

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n > 3,除了 n = 6,An 的自同構群就是 Sn 的自同構群,其內自同構群An 外自同構群Z2;外自同構來自用一個奇置換共軛。

n = 1 與 2,自同構群平凡。對 n = 3 自同構群是 Z2,其內自同構群平凡外自同構群為 Z2

A6 的外自同構群是克萊因四元群 V = Z2 × Z2,這也是 S6 的自同構群A6 另外的自同構將三輪換(比如 (123))與 32 型元素(比如 (123)(456))交換。

特殊同構

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在小交錯群與小李型群之間有一些同構。他們是

更顯然有 A3 同構於循環群 Z3,以及 A1 與 A2 同構於平凡群(也是 SL1(q)=PSL1(q) 對任何 q)。

子群

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A4 是說明拉格朗日定理的逆命題一般不成立的最小群:給定一個有限群 G 和 |G| 的一個因子 d,不一定存在 G 的一個 d 階子群。群 G = A4,階為 12,沒有 6 階子群。有三個元素的子群(由三個物件的輪換旋轉生成)再加上任何一個其它元素生成整個群。

群同調

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交錯群的群同調體現了類似穩定同倫理論英語stable homotopy theory中的穩定性:對足夠大的 n 是常值。

H1:阿貝爾化

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第一同調群阿貝爾化相同,因為 除去已經提到的例外是完全群完滿群),從而有

for and

H2:舒爾乘子

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n 等於 5 或大於等於 8 時,交錯群 An舒爾乘子英語Schur multiplier是 2 階循環群;在 6 和 7 時有一個三重覆蓋,則舒爾乘子的階數為 6。

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參考文獻

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