嚴謹 (數學)
外觀
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2010年12月20日) |
數學上,嚴謹(rigor,mathematical rigor)不同於生活中的嚴謹,它指數學系統尤指公理系統的完備性和自洽性。
完備性指公理數量不多不少正好可以推理出這門學科的全部結論;自洽性指公理系統內不存在悖論(即既是真又是假的命題)。比如仿射幾何加上平行公設就成為歐幾里得幾何,或者加上第五公設的反命題就成為非歐幾何之一,但後兩者並不滿足完備性要求,只有仿射幾何學才是歐幾里得幾何類中的完備系統。一致性與哥德爾不完備定理並不矛盾,前者斷言不存在既真又假的命題,而後者斷言存在既不可證明又不可證偽的命題,就好比第五公設之於歐幾里得幾何,連續統假設之於公理化集合論,選擇公理之於策梅洛-弗蘭克爾集合論。
數學的嚴謹
[編輯]數學的嚴謹可以應用於數學的證明方法和數學的實踐方法
數學證明
[編輯]數學的嚴謹經常被認為是數學證明的標準。 其的歷史可追溯至希臘時期的數學,特別是歐幾裡得的《幾何原本》。
直到19 世紀,歐幾裡得的《幾何原本》都被視為極其嚴謹和深刻。然而,在19 世紀末,希爾伯特意識到該著作隱含了某些假設,而這些假設無法從歐幾裡得的公理中得到證明。
例如:兩個圓可以相交於一點,某個點在一個角度內,並且圖形可以相互疊加)。
這與數學中的嚴格證明的理念相反,在嚴格證明中,所有假設都需要陳述,並且不能隱含任何內容。因此,數學家用公理系統開發了新的基礎,以解決《幾何原本》中不嚴謹的地方。(例如希爾伯特公理、伯克霍夫公理、塔斯基公理)。
物理證明
[編輯]數學嚴謹對物理學有兩個問題:
- 有一個普遍的問題,有時被稱為維格納之謎(《The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences》):「數學如何普遍適用於自然?」,而一些科學家認為,對於自然的紀錄證明了數學適用於物理研究
- 有一個關於數學結果與關係是否嚴謹的問題。該問題對量子場論甚為煩人,因為在量子場論中,計算通常會產生無限值,而為解決這些問題,科學家設計了各種不嚴格的解決方法。
物理學中數學嚴謹的兩個問題都引起了科學哲學的廣泛關注。
參考文獻
[編輯]- 參見徐利治的《微積分大意》
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