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汤普森群

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数学上,汤普森群英语:Thompson groups)是理查德·汤普森1965年在几份未发表的手写笔记中,提出的三个,通常记为FTV。这三个群中受到最广泛研究的是群F。有时汤普森群单单指群F

这三个汤普森群有许多不寻常性质,当中尤以F为甚,因此成为了群论中不少猜想的反例。这三个群都是有限展示的无限群。TV是罕有的无限但为有限展示的单群F不是单群,但其换位子群[F,F]是单群。F对换位子群的F/[F,F]是秩2的自由阿贝尔群F全序群,有指数增长率,无子群同构于秩2自由群

F是否可均群的问题,争议颇大,有两方各执一端:E. Shavgulidze和Justin Moore各自发表预印论文,声称F是可均群;另外Azer Akhmedov和Leva Beklaryan也各自发表预印论文,声称F不是可均群。但是这些预印论文的证明随后都发现有错误。至今难以猜测F是否可均群。[1]

现时已知F不是初等可均群,假如F不是可均群,则会成为有限展示群的冯纽曼猜想的另一个反例。这个猜想指有限展示的非可均群都有子群同构于秩2自由群,自提出后多年未解,直至2003年才被推翻。

Higman (1974)提出了一个以有限展示单群组成的无限族,汤普森群V是这个族中一个特例。

展示

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F的一个有限展示如下:

其中[x,y]是换位子xyx−1y−1.

虽然F可表达为有两个生成元及两个关系元的有限展示,但用以下的无限展示较容易理解:

以上两个展示间的关系为 x0=A, xn = A1−nBAn−1n>0。

其他表示

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汤普森群F是由在二叉树上如图中形式的操作所生成。图中LT是节点,但A, B, R可以用一般的树代替。

F可以用有序有根的二叉树上的运作表示。群F也可以表达为单位区间上由所有如下所述的分段线性同胚组成的群:同胚保持区间的定向,不可微点都是二进有理数(即形为m/2n的数,其中m, n为整数),每段的斜率都是2的幂。

将单位区间的端点等同,便可以视群F为在单位圆上作用,而群T是在F中加入单位圆的同胚xx+1/2 mod 1而生成的群。在二叉树上的对应操作是把根节点下方的两棵树交换。群V是在群T中加入一个不连续映射而生成的群,这映射固定半开区间[0,1/2)的点,并用最显然的方法交换区间[1/2,3/4)和[3/4,1)。在二叉树上的对应操作为把根节点的右子节点下的两棵树(如有的话)交换。

参考

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  1. ^ Is Thompson's Group F amenable?. Mathoverflow. [2013-11-02]. (原始内容存档于2013-11-05).