布尔函数

在数学中，布尔函数（Boolean function），又称逻辑函数，描述如何基于对布尔输入的某种逻辑计算确定布尔值输出。它们在复杂性理论的问题和数字电脑的晶片设计中扮演基础角色。布尔函数的性质在密码学中扮演关键角色，特别是在对称密钥算法的设计中（参见S-box）。

有限布尔函数

在数学中，有限布尔函数是如下形式的函数f : B^k → B，这里的B = {0, 1}是布尔域，而k是非负整数。在k = 0的情况下，函数简单的是B的一个恒定元素。

更一般的说，形如f : X → B函数，这里的X是任意集合，是布尔值函数。如果X = M = {1, 2, 3, …}，则f是“二进制序列”，就是说0和1的无限序列。如果X = [k] = {1, 2, 3, …, k}，则f是长度为k的“二进制序列”

有$2^{2^{k}}$个这种函数。

代数范式

布尔函数可以唯一的写为积（AND）之和（XOR）。这叫做代数范式（ANF），也叫做Zhegalkin多项式。

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\!$	$a_{0}+\!$
	$a_{1}\;x_{1}+a_{2}\;x_{2}+\ldots +a_{n}\;x_{n}+\!$
	$a_{1,2}\;x_{1}x_{2}+\ldots +a_{n-1,n}\;x_{n-1}x_{n}+\!$
	$\ldots \quad \ldots \quad \ldots +\!$
	$a_{1,2,\ldots ,n}\;x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\!$

这里的$a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}\in \{0,1\}^{*}$。 序列$a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}$的值因此还唯一的表示一个布尔函数。

布尔函数的代数次数被定义为出现在乘积项中的$x_{i}$的最高次数。所以$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{3}$有次数1（线性），而$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{1}x_{2}x_{3}$有次数3（立方）。

对于每个函数$f$都有一个唯一的ANF。只有四个函数有一个参数: $f(x)=0$ ，$f(x)=1$ ，$f(x)=x$ ，$f(x)=1+x$ ；它们都可以在ANF中给出。要表示有多个参数的函数，可以使用如下等式：

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{2},\ldots ,x_{n})+x_{1}h(x_{2},\ldots ,x_{n})$ ，

这里的$g(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})$ 并且 $h(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})+f(1,x_{2},\ldots ,x_{n})$ 。

实际上，

如果$x_{1}=0$ ，则$x_{1}h=0$ ，并因此$f(0,\ldots )=f(0,\ldots )$ ；

如果$x_{1}=1$ ，则$x_{1}h=h$ ，并因此$f(1,\ldots )=f(0,\ldots )+f(0,\ldots )+f(1,\ldots )$ 。

因为$g$和$h$二者都有比$f$少的参数，可以得出递归的使用这个过程将完成于只有一个变量的函数。

例如，让我们构造一个$f(x,y)=x\lor y$（逻辑或）的ANF：

$f(x,y)=f(0,y)+x(f(0,y)+f(1,y))$ ；

因为$f(0,y)=0\lor y=y$ 并且$f(1,y)=1\lor y=1$，可以得出$f(x,y)=y+x(y+1)$；

通过打开括号我们得到最终的ANF：$f(x,y)=y+xy+x=x+y+xy$ 。

参见

• 布尔代数主题列表
• 真值函数
• 零阶逻辑

外部链接

• Boolean Planet （页面存档备份，存于互联网档案馆）—boolean functions in cryptography.