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伪阿诺索夫映射

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数学拓扑学中,伪阿诺索夫(Аносов)映射是曲面的一种同胚微分同胚,是环面上的线性阿诺索夫微分同胚的推广。伪阿诺索夫映射的定义用到威廉·瑟斯顿提出的测度叶状结构概念。“伪阿诺索夫映射”这一名词,也是他证明曲面的微分同胚分类时所创。

测度叶状结构

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一个闭曲面S上的测度叶状结构,是S上的一个几何结构,包含一个奇异叶状结构和横截方向的一个测度。在F的一个正则点的某个邻域中,有一个“流盒”(flow box)φ: UR2,将F的叶映射至R2的水平线。当两个这样的邻域Ui, Uj相交,便有一个转移函数φijφj(Uj)上定义,有标准性质

这函数必有形式

其中c是某个常数。如此便保证了沿着一条简单曲线,用各个局部图卡测量的y座标的变差,是一个几何量(即独立于图卡),因此能够对S上的简单闭曲线定义全变差。容许F有有限多个“p-叉鞍”(p-pronged saddle)类型的奇异点(p≥3)。于每个奇异点处,改变曲线的微分结构,令奇异点变为全角度πp的锥顶点(conical point)。相对这个变更了的微分结构,来重新定义S的微分同胚概念。这些定义作技术上的改变,就可以延伸到有边界的曲面。

伪阿诺索夫映射的定义

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闭曲面S的一个同胚

称为伪阿诺索夫,若S上存在测度叶状结构的一个横截对Fs (稳定)及Fu (不稳定),及一个实数λ > 1,使得f保持这对叶状结构不变,而叶状结构的横截测度分别乘上1/λλ。这数量λ称为f拉伸因子(stretch factor或dilatation)。

重要性

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瑟斯顿构造了曲面S泰希米勒空间T(S)的一个紧化,令S的任何微分同胚f诱导在T(S)上的作用,可以延伸成瑟斯顿紧化上的一个同胚。当f是伪阿诺索夫时,这个同胚的动态系统最为简单:在这情况下,在瑟斯顿边界有两个固定点,一吸引一排斥,而同胚的行为类似庞加莱半平面的双曲自同构。在亏格至少2的曲面上,一个“平常”的微分同胚是同痕于一个伪阿诺索夫微分同胚。

参考

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  • A. Casson, S. Bleiler, "Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston", (London Mathematical Society Student Texts 9), (1988).
  • A. Fathi, F. Laudenbach, and V. Poénaru, "Travaux de Thurston sur les surfaces," Asterisque, Vols. 66 and 67 (1979).
  • R.C. Penner. "A construction of pseudo-Anosov homeomorphisms", Trans. Amer. Math. Soc., 310 (1988) No 1, 179–197
  • Thurston, William P., On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 1988, 19 (2): 417–431, ISSN 0002-9904, MR 0956596, doi:10.1090/S0273-0979-1988-15685-6