伪数学

伪数学（Pseudomathematics）是一种由非数学家所进行的、类似数学之活动形式——且数学家自己也会偶尔这么做。这个词是从伪科学一词（也就是那些被声称是科学但其实并不是科学的观念）转变而来的。

伪数学活动并不遵循数学的框架、定义、法则、或严谨的正规数学模型。一旦伪数学论证进入了以上领域，比如说接受或引入了一些“著名”的广泛引用的数学定义的话，它就要不可避免地忽视或抛弃一些已成熟或已被证明的数学机制，而变回明显的非数学的论证。

伪数学家所做的努力大致可以广泛地分成三类：

试图解决一些已经在数学上被证明是不可能的古典问题。
凭着胡乱发展一些新的数学理论或逻辑。
仅用初等数学知识处理一些数学中困难的问题。

作第一种尝试的人注定要失败；而第二种人一般来讲没什么生产力可言，因为最好的状况中他们顶多只是重新发现了已经存在的理论，而最糟的情况则是创造了一堆完全胡说八道的东西；某些形式的命理学就是属于这一类。至于在第三种情况中所做的付出当然不见得会失败，因为某些高等数学的结果确实可以用更初等的技巧达成；在谈到数学的深度的时候并没有所谓一致的观念。然而，除非那些研究者对那些课题具有深刻的直观认知，不然他们成就任何突破的可能性都是渺小的。

在其他领域也有等同于伪数学的东西，尤其是物理。业余者仍然继续试图制造永动机、用古典数学推翻爱因斯坦、或其他类似的不可能成就。

有一些人，虽然其主张一直被外界反驳，但由于对伪数学的过分追求，使得他们怀疑主流数学家都是喜欢孤立他人的偏执狂，而这种怀疑可能造就所谓的数学怪痞。这个问题被美国印第安那州数学家安德伍德·达德利广泛地研究过，也曾写过一些关于这个主题的热门著作。此外，克利福德·皮科欧沃也在他于1998年出版的著作《天才和其奇特的记忆》（Strange Brains and Genius）中探讨了关于科学家与数学家中的“天才与疯子之间的连结”。

不可能问题

一些不可解问题包括下面几个欧几里得几何中的尺规作图问题：

化圆为方：画一个正方形使其面积跟给定圆相同。
倍立方：画一个立方体使得它的体积是给予的立方体的两倍。
三等分角：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。

两千年来人们一直尝试找寻这样的作图法，但一直失败。在19世纪当这些问题被证明是不可能的时候，问题终于被了解了。然而，相较于重挫那些伪数学家，这些由正统数学家提出的、对于不可能性的声称仅只是激起更多的挑战企图而已。

近来的伪数学研究趋势

近来，伪数学家开始投入他们的精力来企图推翻哥德尔的第二不完备定理（这属于上述中的第一类）或用初等方法证明费马最后定理（第三类）。后者目前已经有了一个基于许多不同高等数学领域所做的既长又复杂的证明，然而由于此证明过于繁复曲折（见费马最后定理），各种寻找较为“基础”的证明的尝试从未间断过，这也是因为费马在他留下的注释中声称，他找到过一个“简单而巧妙”的证明。

其他相关的活动包括企图创造一个可以压缩所有输入资料的无损数据压缩算法或著企图推翻四色定理；这两者都是属于第一类的已经证明是不可能的问题。前者当中，可以很轻易地证明其不可能性——基于这种算法必须将较大的有限集一对一地映射至较小的集合上。

其他伪数学家喜欢的主题包括表示式 0/0 的不可判定性、无限的意义或复数的本质。