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雅可比椭圆函数

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数学中,雅可比椭圆函数是由卡尔·雅可比在1830年左右研究的一类椭圆函数。这类函数可用于之类的应用问题,并具有与三角函数相似的性质。

介绍

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雅可比矩形

雅可比椭圆函数有十二种,各对映到某个矩形的顶点连线。此诸顶点记作

视此矩形为复数平面的一部分, 是原点, 是实轴上的一点 称作四分之一周期。

十二个椭圆函数分别记为 。为方便起见,取变数 意指矩形上的任一对顶点,则函数 是唯一满足以下性质的周期亚纯函数

  • 是单零点, 是单极点。
  • 方向的周期等于 距离的两倍。对另两个从 出发的方向,亦满足同样性质。
  • 在顶点 的展式首项系数均为一。

表列如次:

函数 周期 零点 极点 留数
是整数

一般而言,须以平行四边形代替上述矩形,以考虑更一般的周期。

表为椭圆积分之逆

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以上定义略显抽象,更具体的定义是将之表为某类椭圆积分(第一类不完全椭圆积分)之逆。设

椭圆正弦函数 sn u 定义为

而椭圆余弦函数 cn u 定义为

同理,椭圆德尔塔函数有

这里的 是自由变元,通常取

剩下的九种椭圆函数能由这三种构造。

反函数

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雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆,这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样,雅可比椭圆函数的反函数也是多值的,因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达:

用Θ函数来定义

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雅可比椭圆函数也可以用Θ函数来定义。如果我们把简写为,把分别简写为(Theta常数),那么椭圆模k。如果我们设,我们便有:

加法定理

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由此可见 (cn,sn,dn) 描出射影空间 中两个二次曲面之交,这同构于一条椭圆曲线。曲线上的运算由下列加法公式描述:

函数的平方之间的关系

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常微分方程的解

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三个基本的雅可比椭圆函数的导数为:

根据以上的加法定理,可知它们是以下非线性常微分方程的解:

  • 是微分方程的解;
  • 是微分方程的解;
  • 是微分方程的解。

图像

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文献

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  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3