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群上同调

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同调代数中,群上同调是一套研究及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑,在代数数论上也有重要应用;它是现代类域论的基本构件之一。

起源

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群论中的指导思想之一,是研究群 及其表示的关系。群 的表示是 -模的特例:一个 -模是一个阿贝尔群 配上 上的群作用 。等价的说法是:群环 上的模。通常将 的作用写成乘法 。全体 -模自然地构成一个阿贝尔范畴

对给定的 -模 ,最重要的子群之一是其 -不变子群

是一个 -子模(即:是 的子群,且在 的作用下不变),则 上赋有自然的 -模结构,,但是未必有 。第一个群上同调群 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言,可以定义一族函子 ,其间关系可以由长正合序列表示。

形式建构

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以下假设 有限群,全体 -模构成阿贝尔范畴,其间的态射 定义为满足 的群同态 。由于此范畴等价于 -模范畴,故有充足的内射对象

函子 是从 -模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 为其导函子。根据导函子的一般理论,可知:

  • 长正合序列:若 -模的短正合序列,则导出相应的长正合序列

在上述定义中,若固定一个域 ,并以 代替 ,得到的上同调群依然同构。

标准分解

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导出函子的定义来自内射分解,不便于具体计算。然而注意到 ,其中 被赋予平凡的 作用:,故群上同调可以用Ext函子表达为

另一方面,-模范畴中也有充足的射影对象,若取一 的射影分解 ,则有自然的同构 。最自然的分解是标准分解

给出。

定义 ,其元素为形如 的函数,并满足 ,称之为齐次上链。根据 上的作用,这种 由它在形如 的元素上的取值确定。借此,可将上链复形 描述为

  • 的元素为 之函数。

其中的元素称为非齐次上链

综上所述,得到

例子

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较常用的上同调是 。从标准分解可导出以下的描述:

准此要领,亦有

群同调

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上述理论有一对偶版本:对于任一 -模 ,定义 为形如 的元素生成之子模。考虑从 -模范畴映至阿贝尔群范畴的函子

这是一个右正合函子,其导出函子称为为群同调 。群同调可以藉Tor函子描述为

对于有限群,群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。

非阿贝尔群上同调

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将上述定义中的 -模 改成一般的群 (未必交换),并带有 的作用 (称之为 -群)。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调:

须留意 并不是群,而是带有一个指定元素的集合(来自 的单位元),以下所谓的正合性,都应该在此意义下理解。

-群的短正合序列,则有长正合序列

落在 的中心,此序列右端可再加一项

性质

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Res 与 Cor

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为群同态,则可将任一 -模透过 视为 -模,此运算导出上同调之间的映射

此映射与群上同调的长正合序列相容。当 的子群而 是包含映射,导出的映射称为限制映射,记为 Res。

由于我们假设 为有限群,必有 ,此时映射

导出一个上限制映射

定理.

中心扩张

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是平凡的 模(即 ),则 中的元素一一对应于 中心扩张的等价类

中心扩张意谓:群扩张,而且 落在 的中心内。

具体描述方法是:任取一映射 不一定是群同态,但存在函数 使得 刻划了 的群结构。不难验证 满足 ,而 的选取对应于 ,所以 仅决定于唯一的一个中心扩张。反之,任一 都来自于某个中心扩张,证毕。

谱序列

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正规子群,则有下述谱序列

对于射影有限群,此式依然成立。

参考文献

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