正图形

**正图形**
一些正几何形状的例子
; 正五边形是一个多边形，是一个正图形，由5个边组成的二维正多胞形，其施莱夫利符号为{5}	; 正十二面体是一个多面体，是一个正图形，由12个正五边形面组成的三维正多胞形，其施莱夫利符号为{5,3}
; 正一百二十胞体是一个四维多胞体，是一个正图形，由120个正十二面体胞组成的四维正多胞形，其施莱夫利符号为{5,3,3}。（这里展示的是施莱格尔图像（英语：Schlegel diagram））	; 正方体堆砌是一个三维空间堆砌，可被看作是四维的无穷胞体，施莱夫利符号为{4,3,4}
	; 八维超正方体的256个顶点和1024条棱可以用正交投影来展示。（皮特里多边形）

在几何学中，正图形或正几何形状（英语：Regular Geometric Shape）是一类具有高度对称性的几何结构。其中，若该几何结构是由线段、平面或超平面的边界构成则又可称为正多胞形（英语：Regular polytope）。

和正图形相对的概念为不规则图形（Irregular Geometric Shape）或不规则几何形状、非正几何形状，其对称性比正图形低或无对称性。在不规则图形中，依照对称性的高低又可以分为拟正图形（Quasiregular）、半正图形（英语：Semiregular_polytope）（Semiregular）、似正（英语：Demiregular tiling）图形（Demiregular）、均匀图形（英语：Uniform_polytope）（Uniform）等几何结构。

正多胞形

正多胞形是一种对称性对于标记可递的几何结构，且具有高度对称性，对于该几何体内所有同维度的元素（如：点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，例如，正方体所有的面的面积及形状皆相同，且皆为正方形，是一个二维正多胞形、所有边的长度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方体是一个正图形或正多胞形。对于所有元素，或叫j维面（对所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是该几何体所在的维度） — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递，也是≤ n维的正图形。

正图形是正多边形（例如：正方形或者正五边形^[1] ）和正多面体（例如立方体）的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值，吸引着数学家和数学爱好者。

一般地，n维正图形被定义为有正维面[(n − 1)-表面]和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是，这一定义并不适用于抽象多胞形（英语：abstract polytope）。

一个正图形能用形式为{a, b, c, ...., y, z}的施莱夫利符号代表，其正的面为{a, b, c, ..., y}，顶点图为{b, c, ..., y, z}。

分类和描述

正图形最基础的分类是按其维度。

它们能够按照对称性进一步分类。例如，正方体和正八面体有着相同的对称性，同样，正十二面体和正二十面体也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。

3种特殊类型的正图形存在于所有维度：

单纯形（正单形）
超方形（正测形）
正轴形（交叉形）

在二维，这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的正多面体和正多胞体。在五维及以上维，只存在这三种类型的正图形。另见正图形列表。

正图形的概念有时被扩展，使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子，下面“历史发现”一章将会详细说明。

施莱夫利符号

施莱夫利符号是一个简洁有力的多面体表示法，是19世纪由路德维希·施莱夫利所发明的，一个改进了的版本随后成为了标准。这种记号可通过维度依次增加一获得最好的解释。

一个有n条边的凸正多边形可以标记为{n}。所以一个等边三角形是{3}，一个正方形是{4}……一个绕其中心旋转m圈的正星形多边形被标记为分式{n/m}，这里n和m是互质的，例如正五角星是{5/2}。

一个有着面{n}，并且一个顶点处有p个面相交的正多面体标记为{n, p}。九个正多面体是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是这个正多面体的顶点图。

一个有着胞{n, p}，并且每一条棱处有q个胞相交的正多胞体标记为{n, p, q}。其顶点图为{p, q}。

一个五维正多胞体是{n, p, q, r}，等等。

正图形的对偶性

正图形的对偶形也是正图形。对偶图形的施莱夫利符号就是将原来的符号倒过来写：{3,3}为自身对偶，{3,4}与{4,3}对偶，{4,3,3}与{3,3,4}对偶，以此类推。

正图形的顶点图的对偶即是其对偶图形的维面。例如{3,3,4}的顶点图是{3,4}，其对偶即是{4,3} — {4,3,3}的一个胞。

任何维的超方形和正轴形都是互相对偶的。

如果其施莱夫利符号是回文，即正反读都一样，那么这个正图形就是自身对偶的。自身对偶正图形包括：

点
线段，{}。
所有的正多边形，{a}。
所有的n-正单纯形，{3,3,3,...,3,3,3}。
四维正多胞形正二十四胞体，{3,4,3}。
所有n维超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。这些在多胞形学中被看作无穷多胞形。

正单纯形

1-正单纯形到 4-正单纯形的图像

线段	正三角形	正四面体	正五胞体

我们从点A开始。标下与A相距r的点B，并连接它们，形成线段。在垂直与它的第二维度标下与A、B都相距r的第三点C，并连接AC、BC，形成正三角形。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距r的第四点D，连接四点，便形成正四面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这些就是正单纯形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正三角形（正三边形）

3. 正四面体

4. 正五胞体或 4-单纯形

5. 五维正六胞体或 5-单纯形

... n-单纯形有n+1个顶点。

超方形

2-超方形到 4-超方形的图像

正方形	立方体	超正方体

从一个点A开始。连一条线到距离为r的B，形成一条线段。延伸第二条长为r的线，垂直于AB，将B连接到C，同样链接A到D，形成一个正方形ABCD。从每个顶点同样延伸出长为r的线，同时垂直于AB和BC，标记点E、F、G、H形成立方体ABCD-EFGH。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

它们就是超方形或称正测形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正方形（正四边形）

3. 立方体（正六面体）

4. 四维超正方体（正八胞体）或4-超方体

5. 五维超正方体（五维正十胞体）或5-超方体

...一个n-超方体有2ⁿ个顶点。

正轴形

2-正轴形到 4-正轴形的图像

正方形	正八面体	正十六胞体

从一个点O开始。从O向两个相反的方向延出两条线到距O点距离为r的A和B，互相之间距离为2r，形成一条线段。同样再画线段COD，长度为2r，以O为中点而垂直于AB。连接4个顶点形成正方形ACBD。再画线段EOF，同样长度为2r，中点为O，同时垂直于AB和CD（即上下方向）。将其顶点与正方形顶点一一相连得到正八面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这样得到的图形称为正轴形或交叉形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正方形（正四边形）

3. 正八面体

4. 正十六胞体或4-正轴形

5. 正三十二超胞体（五维正三十二胞体）或5-正轴形

...n-正轴形有2n个顶点。

正无穷胞体 — 无穷多胞形

参见

参考文献

^ Regular Geometric Shapes (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. （原始内容 (PDF)存档于2019-04-13）.

(Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
(Coxeter, 1974) Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, (Cambridge University Press, 1974).
(Coxeter, 1982) Coxeter, H. S. M.; Ten Toroids and Fifty-Seven hemi-Dodecahedra Geometrica Dedicata 13 pp87–99.
(Coxeter, 1984) Coxeter, H. S. M.; A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.
(Coxeter, 1999) Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F.; The Fifty-Nine Icosahedra (Tarquin Publications, Stradbroke, England, 1999)
(Cromwell, 1997) Cromwell, Peter R.; Polyhedra (Cambridge University Press, 1997)
(Euclid) Euclid, Elements, English Translation by Heath, T. L.; (Cambridge University Press, 1956).
(Grünbaum, 1977) Grünbaum, B.; Regularity of Graphs, Complexes and Designs, Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay, 260 pp191–197.
(Grünbaum, 1994) B. Grünbaum, Polyhedra with hollow faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. ... (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic pp. 43–70.
(Hilbert, 1952) Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S. Geometry and the imagination, (Chelsea, 1952) p144.
(Haeckel, 1904) Haeckel, E.; Kunstformen der Natur (1904). Available as Haeckel, E.; Art forms in nature (Prestel USA, 1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
(Lindemann, 1987) Lindemann F.; Sitzunger Bayerische Akademie Der Wissenschaften 26 (1987) pp625–768.
(McMullen, 2002) McMullen, P.; Schulte, S.; Abstract Regular Polytopes; (Cambridge University Press, 2002)
(Sanford, 1930) Sanford, V.; A Short History Of Mathematics, (The Riverside Press, 1930).
(Schläfli, 1855), Schläfli, L.; Reduction D'Une Integrale Multiple Qui Comprend L'Arc Du Cercle Et L'Aire Du Triangle Sphérique Comme Cas Particulières, Journal De Mathematiques 20 (1855) pp359–394.
(Schläfli, 1858), Schläfli, L.; On The Multiple Integral ∫ndx dy ... dz, Whose Limits Are $p_{1}=a_{1}x+b_{1}y+\cdots +h_{1}z\geq 0,$ $p_{2}>0,\ldots ,p_{n}>0$ and $x^{2}+y^{2}+\cdots +z^{2}<1$ Quarterly Journal Of Pure And Applied Mathematics 2 (1858) pp269–301, 3 (1860) pp54–68, 97–108.
(Schläfli, 1901), Schläfli, L.; Theorie Der Vielfachen Kontinuität, Denkschriften Der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 38 (1901) pp1–237.
(Shephard, 1952) Shephard, G.C.; Regular Complex Polytopes, Proc. London Math. Soc. Series 3, 2 (1952) pp82–97.
(Smith, 1982) Smith, J. V.; Geometrical And Structural Crystallography, (John Wiley and Sons, 1982).
(Van der Waerden, 1954) Van der Waerden, B. L.; Science Awakening, (P Noordhoff Ltd, 1954), English Translation by Arnold Dresden.
D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
Olshevsky, George, Regular polytope at Glossary for Hyperspace.
Stella: Polyhedron Navigator （页面存档备份，存于互联网档案馆） Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)
Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] Regular Geometric Shapes (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. （原始内容 (PDF)存档于2019-04-13）.

[1]

查论编正图形
二维正多边形	正三角形正四边形正五边形正六边形正七边形正八边形正九边形正十边形正十一边形正十二边形 ...
三维正多面体	正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体
四维正多胞体	正五胞体正八胞体正十六胞体正二十四胞体正一百二十胞体正六百胞体
五维正多胞体	五维正六胞体五维正十胞体五维正三十二胞体