哈代-李特尔伍德圆法

在数学里，哈代-勒特伍德圆法是在解析数论中最常被使用的技术之一。其是以高德菲·哈罗德·哈代和约翰·恩瑟·李特尔伍德来命名的，他们是在一连讨论华林问题的论文中发展了此一技术。这个观念一开始的起源通常被归功于哈代在1916年和1917年中和拉马努金在整数分拆的渐进分析中之研究。这被许多其他的研究者们所使用，包括哈罗德·达芬波特和维诺格拉多夫，他们稍微地修改了其公式（由复分析移至指数和），但没有改变大略的内容。上千篇论文使用着此一方法，且直到2005年，这个方法仍然被使用来产生新的成果。

问题中的圆一开始是在复数平面上的单位圆。假定问题一开始是一连串的复数

a_n, n = 0, 1, 2, 3, ...

想要求得其中的一些可能的渐进类型

a_n ~ F(n)

其中有一些启发性的方法可以用来猜测F可能的类型，先写下

$f(z)=\sum a_{n}z^{n}$

，一个幂级数生成函数。其中有些有趣的例子在于f的收敛半径等于1的条件下，故将问题假装已调整至承现出满足此一条件。

经由此规划之后，便可以直接由留数定理得出对每个整数 n ≥ 0，

$I_{n}=\int f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2\pi ia_{n}$

其中这个积分是绕着圆心为0且半径为0 < r < 1之r的圆来积的。

亦即，这是一个闭轨积分，其轨道是一个以逆时钟方向绕了一圈的圆。为了使其较易回答，可以直接将r的值取1，即使用单位圆闭轨。但在复变分析中却有着一些问题，因为f在单位圆上不一定总是会有定义。

圆法在其问题上的做法是强迫将r值取1，以对f在单位圆上之奇点的性质有足够的了解之方式。对其基本的了解可以使用有理数的法里数列，或是等价地使用单位根

$\zeta \ =\exp \left({\frac {2\pi ir}{s}}\right)$

这里的分母s是在r/s为最简分数下之分母，可以决定在ζ附近之f主要奇点的行为之相对的重要性。

哈代-勒特伍德圆法因此可以用复分析的方式来表现出来。当r 趋近 1时的I_n的值的分布可以被分成两个部分，传统上称之为大弧和小弧。可以将ζ分成两部分，分别是s≤N和s>N两部分，其中的N是一个依方便选定之n的函数。积分I_n可以将其积分范围分成长度为s的长度（一样是依方便选定的），和ζ相连的弧。这些弧可以形成整个圆圈，而其在“大弧”上积分的总和会是2πiF(n)（实际上，会存在一个可掌控的剩余项）。剩下在“小弧”上的积分总和则可以被一个上界所取代，而且这个上界会数量级地小于F(n)。

外部链接

• 陶哲轩，Heuristic limitations of the circle method（页面存档备份，存于互联网档案馆）