跳转到内容

中心化子和正规化子

本页使用了标题或全文手工转换
维基百科,自由的百科全书
群论


群论中,一个 子集 中心化子(英语:Centralizer 中与所有 的元素满足交换律的元素组成的集合; 正规化子(英语:Normalizer 中使 关于 共轭类等于 的元素 组成的集合,此条件较上述中心化子的条件弱。

中心化子和正规化子都是 子群。它们分别给出对 的元素和 整体的限制。对某些子集 ,这些子群能够给出关于群 结构的信息。

定义

[编辑]

中心化子

[编辑]

为一个群, 的一个子集,我们定义一个由 中与每一个 的元素 可交换的元素组成的集合,记做 ;换言之,

的子群且 ,则

特别的,当 单元素集合 时,我们会将其中心化子简写为

群的中心

[编辑]

中心 ,通常记作 。一个群的中心既是正规子群也是交换群,而且有很多其它重要属性。我们可以将 的中心化子视作 中最大(用包含关系作为比较大小的依据)的子群 ,使得 属于其中心

正规化子

[编辑]

中的正规化子记作 。正规化子定义为 。同样的是, 的子群。

正规化子得名于 中包含由 正规子群的最大子群,其中 是由 生成的子群。

包括 为其正规子群的最小的 的子群称为共轭闭包

如果 ,则子群 称为 自正规化子群

性质

[编辑]

交换群,则任何 的子集的中心化子和正规化子都包含 所有的元素;特别地,一个群可交换,当且仅当

的任意元素,则 中当且仅当 中,这又亦等价于 可交换( )。

单元素集合 ,则

总是 的正规子群:若 属于 属于 ,我们需要证明 属于 。 为此,取 属于 并令 。则 属于 ,所以 。注意到 ;以及 。我们有

这也就是要证明的命题。

HG的子群,则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)(H自同构群)的子群。

因为NG(G) = G,N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)(由所有G内自同构组成的Aut(G)的子群)。

如果我们通过T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1定义群同态 T : G → Inn(G),则我们可以用Inn("G")在G上的群作用来表述N(S)和C(S):S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S)),而Inn(G)中固定S的子群就是T(C(S))。

共轭类方程

[编辑]

为有限群,考虑 共轭到自身的群作用,并应用轨道-稳定点定理

G的

G的轨道

类方程