線性標準轉換

在數學的文獻中，線性標準轉換（英語：Linear Canonical Transform，簡稱LCT）也稱作線性正則變換、ABCD轉換、廣義Fresnel變換等。在漢米爾頓力學中，線性標準轉換是積分變換的一個代表家族，並且能夠將許多經典的轉換進行廣義化，例如傅立葉變換、分數傅立葉變換、拉普拉斯變換、菲涅爾轉換(電磁波在空氣中傳播)、高斯-魏爾斯特拉斯轉換、包格曼轉換等等。此轉換提供了這些最常使用的線性轉換一個統一框架，並且在光學、信號轉換以及系統響應領域中都提供一般化的概念。尤其從系統工程的角度看來，線性標準轉換提供一個強大的光學系統設計和分析的工具。 此轉換有四維變數的線性積分轉換和一個限制條件，因此實際上是一個三維自由度的積分變換的家族。 在群論中，線性標準轉換屬於特殊線性群(SR(2))在時頻域上的一個作用群。

定義

從積分變換的定義開始:

$(Tf)(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,\mathrm {d} t$

積分變換是將輸入的訊號f(t)經由核心(Kernel)K(t, u)的作用後對應後的輸出結果即是另一個函數$(TF)(u)$，此時$(TF)(u)$稱作是$f(t)$的積分變換。

線性標準轉換(LCT)以一般的線性積分變換關係表示如下:

$X_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {-i}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\;\mathrm {d} t\,,$	此時 b ≠ 0,
$X_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(du)\,,$	此時 b = 0.

並且需要滿足此條件:

$ad-bc=1$

此時的$X_{(a,b,c,d)}(u)$表示的是訊號$x(t)$經過線性標準變換過後的結果 而我們通常使用$O_{F}^{(a,b,c,d)}$作為線性標準轉換的操作函數，也就是:

$O_{F}^{(a,b,c,d)}(x(t))=X_{(a,b,c,d)}(u)$

另外，線性標準轉換(LCT)也可用簡單的2x2的矩陣以及一個行列式限制條件來表示，如同矩陣$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$，其條件為$\det(\mathbf {A} )=ad-bc=1$

矩陣形式在時頻分析中所代表的意義是將時頻域上的平行四邊形面積扭曲成另一個平性四邊形面積，而不同的特殊情形的矩陣形式則分別代表不同的幾何轉換

特殊情形

線性標準轉換是許多經典轉換的廣義化。透過將矩陣形式帶入不同的變數所得到的特殊情形如下，以下舉出的轉換在時頻分析上均有訊號在時頻域運動的意義。例如：

縮放

縮放, $x(u)\mapsto {\sqrt {\sigma }}x(\sigma u)$，是一種在時間軸和頻率軸進行縮小或放大操作的轉換，其中時間軸和頻率軸的操作是相反的，若放大時間軸就會縮小頻率軸，反之亦然：

$${\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}$$

傅立葉轉換

傅立葉變換，傅立葉變換的定義:

$F(u)=FT{(f(t))}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-jut}\,\mathrm {d} x$, 對任意實數 u

可以將 LCT 整理成為以下形式:

$O_{F}^{(0,1,-1,0)}\left\{f(t)\right\}={\sqrt {\frac {-j}{2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-jut}\,f(t)\,\mathrm {d} t={\sqrt {-j}}\cdot FT\left\{f(t)\right\}$

此時即是分數傅立葉變換中，當$\phi =\pi /2$的特殊情形，代表將時頻域上的面積做$\phi =+\pi /2$度的旋轉。另外寫成矩陣的形式則為：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

分數傅立葉變換

分數傅立葉變換，代表將時頻域上的面積做$\phi$度的旋轉，其積分變換形式為:

$O_{F}^{(cos\phi ,sin\phi ,-sin\phi ,cos\phi )}\left\{f(t)\right\}={\sqrt {e^{-j\phi }}}\cdot O_{F}^{\phi }\left\{f(t)\right\}$

若寫成矩陣的形式為：

${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}$

傅立葉反變換

傅立葉反變換，傅立葉反變換的定義:

$f(t)=IFT{(F(u))}=\int _{-\infty }^{\infty }F(u)\ e^{-jut}\,\mathrm {d} x$,   對任意實數 u

可以將LCT整理成為以下形式:

$O_{F}^{(0,-1,1,0)}\left\{f(t)\right\}={\sqrt {\frac {j}{2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{jut}\,f(t)\,\mathrm {d} t={\sqrt {j}}\cdot FT^{-1}\left\{f(t)\right\}$

此時即是分數傅立葉變換中，當$\phi =-\pi /2$的特殊情形，也就是代表將時頻域上的面積做$\phi =-\pi /2$度的旋轉。另外寫成矩陣的形式則為：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

菲涅爾轉換

菲涅爾轉換，用來描述電磁波在空氣中傳播的情形，代表將時頻域上的面積做時間方向上的切變，若將其寫成矩陣的形式為：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}$

其中 $z$ 是距離，$\lambda$ 是波長。

拉普拉斯轉換

拉普拉斯轉換，代表將時頻域上的面積對其複數平面做+90度的旋轉，其矩陣如下:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}$

分數拉普拉斯轉換

分數拉普拉斯轉換，代表將時頻域上的面積對其複數平面做任意角度的旋轉，其矩陣如下:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \phi &i\sin \phi \\i\sin \phi &-i\cos \phi \end{bmatrix}}$

其中拉普拉斯轉換是分數拉普拉斯轉換中 $\phi =90^{\circ }$ 的特例，而拉普拉斯反轉換則是 $\phi =90^{\circ }$ 的情形。

啾啾聲載波

啾啾聲載波(chirp multiplication)，其定義是如下:

$X_{a,0,c,d}(u)=e^{j\pi \tau u^{2}}x(u)$

寫成矩陣的形式為：

${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}$

特性

加法性

當我們將兩個參數矩陣不同的LCT組合起來，也就是對同一個訊號做兩次線性標準轉換。這樣的結果相當於將兩矩陣的乘積後的矩陣作為參數的線性標準轉換，並以此新的LCT對原始訊號作用後得到的結果。最常見是維格納分佈(wigner distribution function, WDF)中的加法特性。

當使用$O_{F}^{(a,b,c,d)}$來表示LCT的作用時:

$O_{F}^{(a,b,c,d)}(x(t))=X_{(a,b,c,d)}(u)$

若現在有兩種轉換$O_{F}^{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}(x(t))=X_{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}(u)$和$O_{F}^{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}(x(t))=X_{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}(u)$兩者依序對$x(t)$作用

則有第三種LCT其參數為前兩者的矩陣形式的乘積$O_{F}^{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}(x(t))=X_{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}(u)$，將滿足:

$O_{F}^{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}\left\{O_{F}^{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}[x(t)]\right\}=O_{F}^{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}[x(t)]$

用矩陣來表示為：

${\begin{bmatrix}a_{3}&b_{3}\\c_{3}&d_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{bmatrix}}$

因此，若是$W(u,v)$是$X(u)$做WDF，而$X(u)$是$x(t)$做LCT，可以表示成：

$W_{X_{(a,b,c,d)}}(u,v)=W_{x}(du-bv,-cu+av)$

$W_{X_{(a,b,c,d)}}(au+bv,cu+dv)=W_{x}(u,v)$

此兩式互為相同含意，因此可知反向LCT的就是由四個參數代表矩陣的反矩陣。

結合律

當現在有三種參數不同的LCT依序對$x(t)$作用，則前兩者先作用第三種再作用的結果會與，後二者先作用再由第一種作用的結果相同。

其他性質列表

性質	時域訊號	正則變換
時間平移	$f(t-\tau )\,$	$e^{-j{\frac {ac}{2}}\tau ^{2}}e^{j\cdot ac\cdot u}\cdot F_{(a,b,c,d)}(u-a\tau )\,$
調變	$e^{j\eta t}f(t)\,$	$e^{-j{\frac {bd}{2}}\eta ^{2}}e^{j\cdot d\eta \cdot u}\cdot F_{(a,b,c,d)}(u-b\eta )\,$
縮放	${\sqrt {\sigma ^{-1}}}\cdot f(\sigma ^{-1}t)\,$	$F_{(\sigma a,{\frac {b}{\sigma }},\sigma c,{\frac {d}{\sigma }})}(u)\,$
時間反轉	$f(-t)\,$	$F_{(a,b,c,d)}(-u)\,$
乘	$tf(t)\,$	$(b\cdot j{\frac {d}{du}}+d\cdot u)\cdot F_{(a,b,c,d)}(u)\,$
微分	$f'(t)\,$	$(a\cdot {\frac {d}{du}}-c\cdot ju)\cdot F_{(a,b,c,d)}(u)\,$
除	${\frac {f(t)}{t}}\,$	$-{\frac {j}{b}}e^{{\frac {j}{2}}{\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{u}e^{{\frac {j}{2}}{\frac {d}{b}}z^{2}}F_{(a,b,c,d)}(z)\,dz\,$
積分	$\int _{-\infty }^{t}f(t')\,dt'$	${\frac {e^{{\frac {j}{2}}{\frac {c}{a}}u^{2}}}{a}}\int _{-\infty }^{u}e^{-{\frac {j}{2}}{\frac {c}{a}}z^{2}}F_{(a,b,c,d)}(z)\,dz\quad when\;a>0\,$
		${\frac {e^{{\frac {j}{2}}{\frac {c}{a}}u^{2}}}{-a}}\int _{u}^{\infty }e^{-{\frac {j}{2}}{\frac {c}{a}}z^{2}}F_{(a,b,c,d)}(z)\,dz\quad when\;a<0\,$
共軛	${\overline {O_{F}^{(a,b,c,d)}\left\{f(t)\right\}}}=O_{F}^{(a,-b,-c,d)}\left\{{\overline {f(t)}}\right\}\,$
能量守恆	$\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(t)\right|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|F_{(a,b,c,d)}(u)\right|^{2}\,du\,$
一般化能量守恆	$\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {g(t)}}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }F_{(a,b,c,d)}{\overline {G_{(a,b,c,d)}}}(u)\,du\,$

反線性正則轉換

參數為$\,\{a,b,c,d\}\,$的線性標準轉換其反線性標準轉換參數為$\,\{d,-b,-c,a\}\,$

$O_{F}^{(d,-b,-c,a)}\left\{O_{F}^{(a,b,c,d)}\left\{f(t)\right\}\right\}=f(t)$

LCT的訊號扭曲運用

利用LCT的特性，可以把原本的訊號轉變成另外的形式，此過程可以輕易的用LCT來將一個矩形的區域，變成另外一個平行四邊形區域，此概念是利用線性代數上的基底變換，來把原本的基底換成另外一種型式來呈現，因此要符合線性代數中基底變換的限制，其中心點為(0,0)，若無法滿足此條件，則無法使用LCT的線性轉換公式，並且此轉換的行列式為1，不會改變原來區域的面積大小，並且轉換前後皆為平行四邊形，因此可以把一些不好運算的平行四邊形，藉由LCT的方式，轉換到比較容易計算或是比較容易理解的基底，有利於運算的考量。 舉例來說：

在二維的平面上，若已知兩個平面個別為，一個中心點為原點的矩形，四個點分別為：(-1,2),(1,2),(-1,-2),(1,-2)，和經過LCT的轉換可以變成中心點為原點的平行四邊形，其四個點為：(1,1),(7,3),(-7,-3),(-1,-1)，可以藉由其中兩個點來解聯立方程式，算出a,b,c,d，所代表的數值，

${\begin{cases}a(-1)+b(2)=1,\ a(1)+b(2)=7\\c(-1)+d(2)=1,\ c(1)+d(2)=3\end{cases}}$

$\Rightarrow {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}}$

其總面積皆為：8

LCT在各領域的應用

LCT在許多的工程領域中都十分地實用，因為LCT能夠用來描述任何的二次相位系統，以及這些二次相位系統的串接組合，以下我們將舉出LCT在多個領域中的應用實例:

時頻分析

對一信號做線性正則轉換相當於對時間-頻率域的分佈做扭曲

一信號  $x(t)\,$  及其線性正則變換 $X_{(a,b,c,d)}(u)\,$ 的維格納分佈分別表示為 $W_{X}(t,f)\,$ 和 $W_{X_{(a,b,c,d)}}(u,v)\,$ ，

它們在時頻域的分佈有以下關係:

$W_{X_{(a,b,c,d)}}(u,v)=W_{X}(dt-bf,-ct+af)$

$W_{X_{(a,b,c,d)}}(au+bv,cu+dv)=W_{X}(t,f)$

濾波器設計

利用線性正則轉換改變信號在時頻域的分佈來設計濾波器。

$x_{o}(t)=O_{F}^{(d,-b,-c,a)}\left\{O_{F}^{(a,b,c,d)}\left\{x_{i}(t)\right\}\cdot H_{(a,b,c,d)}(t)\right\}$

其中 $H_{(a,b,c,d)}(t)\,$ 表示轉換後的域的濾波器

電磁波傳播

電磁波在空氣中傳播的行為是透過菲涅爾轉換來描述，假設一光學系統滿足菲涅爾近似而電磁波由$x_{i},y_{i}$平面傳播到$x,y$平面，則式子如下:

$U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}]}U_{i}(x_{i},y_{i})\;\mathrm {d} x_{i}\;\mathrm {d} y_{i},$

其中

$k=2\pi /\lambda$	: 波數;
$\lambda$	: 波長;
$z$	: 傳播距離;
$j$	: 虛數.

如果我們以LCT的矩陣形式來表示的話則是:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z/2\pi \\0&1\end{bmatrix}}$

在時頻域上將訊號作對時間軸的切變，其中$\lambda$越大，則切變效果越劇烈。

光學系統

球面薄凸透鏡

• 假設透鏡的折射系數為n，則電磁波經過薄透鏡折射之後的結果，可以用下列式子表示:

$U_{0}(x,y)=e^{jkn\Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y)$

• 如果以LCT的矩陣形式來表示則是:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}$

在時頻域上將訊號作對頻率軸的切變，但此時與菲涅爾轉換不同的是$\lambda$越大，切變得效果越小。

球面反射鏡

球面反射鏡的LCT矩陣形式與薄凸透鏡很類似，但此時影響頻率軸上的切變不是焦距而是求面反射鏡的半徑，其矩陣形式如下:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}$

線性正則轉換分析光學優缺點

優點:在計算上只需要用到2X2的矩陣運算，避免了複雜的數學積分運算與物理理論

缺點:得到的結果只有在近軸(靠近光傳播方向)準確性高

結合LCT加成性的例子

當電磁波由左端平面輸入，在空氣傳播時使用菲涅爾轉換描述，接着在距離為z1處經過一焦距為f的薄凸透鏡折射後再射入空氣中傳播距離z2後由右端平面輸出，此過程經過三層LCT的操作，依序為菲涅爾轉換、薄凸透鏡折射和菲涅爾轉換。

根據LCT加成性，整個LCT過程相當於作用以下三個矩陣相乘後的矩陣乘積。

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z_{1}/2\pi \\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda z_{/}2\pi \\0&1\end{bmatrix}}$

基本性質

在這個部份，我們列出了一些 LCT 的基本性質：

運算子	轉換矩陣
$L(T)$	${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$
$L(T_{1})L(T_{2})$	$T_{2}T_{1}$
$L^{-1}(T)=L(T^{-1})$	${\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$
$L({\widehat {T}})=L^{*}(T^{-1})$	${\begin{bmatrix}d^{t}&b^{t}\\c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$
$F$	${\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}$
${\begin{cases}FL(T)F^{-1}=L^{*}(T^{t-1})\\F^{-1}L(T)F=L^{*}(T^{t-1})\end{cases}}$	${\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}$

給定一個二維的行向量 $r={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ ，我們列出在某些特定輸入之下 LCT 所展現的特殊性質。

輸入	輸出	備註
$f_{i}(r)$	$f_{o}(r)=L(T){\displaystyle f_{i}(r)}\,,$ 當 $\,T={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$
$\sum _{n}a_{n}f_{n}(r)$	$\sum _{n}a_{n}Lf_{n}(r)$	線性
$f_{i}(r),h_{i}(r)$	$\int f_{i}(r)h_{i}^{*}(r)dr=\int f_{o}(r)h_{o}^{*}(r)dr$	帕塞瓦爾定理
$f_{i}^{*}(r)$	$[L(T^{-1})f_{i}(r)]^{*}\,,$ 當 $\,T^{-1}={\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$	負共軛
$\mathrm {M} ^{n}f_{i}(r)$	$(d^{t}\mathrm {M} -b^{t}D)^{n}f_{o}(r)\qquad \mathrm {M} =r$	乘法
$D^{n}f_{i}(r)$	$(-c^{t}\mathrm {M} -a^{t}D)^{n}f_{o}(r)\qquad D=(i2\pi )^{-1}\nabla ^{t}$	導數
$f_{i}(r)e^{i2\pi k^{t}r}$	$f_{o}(r-bk)e^{i2\pi k^{t}d^{t}r}e^{-i\pi k^{t}b^{t}dk}$	調變
$f_{i}(r-k)$	$f_{o}(r)e^{i2\pi k^{t}c^{t}r}e^{-i\pi k^{t}c^{t}ak}$	平移
$|\det(W)|^{-1/2}f_{i}(W^{-1}r)$	$L({\tilde {T}})f_{i}(r)\,,$ 當 $\,{\tilde {T}}=T{\begin{bmatrix}W&0\\0&W^{t-1}\end{bmatrix}}$	縮放
$f_{i}(-r)$	$L(-T)f_{i}(r)=f_{o}(-r)$	縮放
1	$(\det(A))^{-1/2}e^{i\pi r^{t}CA^{-1}r}$
$e^{i\pi r^{t}L_{i}r}$	$[\det(A+iL_{i})]^{-1/2}e^{-\pi r^{t}L_{o}r}\,,$ 當 $\,iL_{o}=(C+iDL_{i})(A+iBL_{i})^{-1}$
$e^{i2\pi k^{t}r}$	$(\det(A))^{-1/2}e^{i\pi r^{t}CA^{-1}r}*e^{-i\pi k^{t}A^{-1}BK}e^{i2\pi k^{t}CA^{-1}r}$

範例

考慮一個包含兩個雷達天線的系統，兩個天線面對面放置，其中一個為信號發出端另一個為接收端，兩個天線之間的距離為 $D$ ，訊號在兩個天線之間傳遞。首先，對天線 A (發出端) 來說，LCT 矩陣可以寫成以下形式：$${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.$$接着，對天線 B (接收端) 來說，LCT 矩陣可以寫成以下形式：$${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.$$最後，對於在空氣中傳遞的訊號來說，LCT 矩陣可以寫成以下形式：$${\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.$$將三個部份合在一起，整個系統的 LCT 可以整合成：$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{-1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\end{bmatrix}}\,.$$

和粒子物理的關聯

研究指出費米子的某些性質可能可以在粒子物理的標準模型中，和線性標準轉換的自旋表示中建立一些關係。在這個方法中，粒子的電荷，弱超荷和弱同位旋被表示成某些用 LCT 的自旋表示相關的克里福代數定義的運算子的線性組合。

參考

Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009.

Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.

A. Stern, 「Why is the linear canonical transform so little known?」 in Proceedings of 5th International Workshop on Information Optics, G. Cristóbal, B. Javidi, and S. Vallmitjana, eds (Springer, 2006), pp. 225–234.

許天周，李炳照，線性正則變換及應用，北京：科學出版社，2013.02