歐拉-拉格朗日方程式(英語:Euler-Lagrange equation)為變分法中的一條重要方程式。它是一個二階偏微分方程式。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函數,換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法,與微積分差異的地方在於,泛函的定義域為函數空間而不是
。
該方程式由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉與意大利數學家約瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。
設
,以及
在
中連續,並設泛函
。
若
使得泛函
取得局部平穩值,則對於所有的
,
。
推廣到多維的情況,記
,
,
。
若
使得泛函
取得局部平穩值,則在區間
內對於所有的
,皆有
。
設
,及
在
中連續,若
使得泛函
取得局部平穩值,則存在一常數
,使得
。
設
及
為直角坐標上的兩個固定點,欲求連接兩點之間的最短曲線。設
,並且
;
這裏,
為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為
。
現設
,
,
取偏微分,則
,
,
。
若
使得
取得局部平穩值,則
符合第一方程式:
,
。
因此,
,
。
隨
積分,
,
;
這裏,
為常數。重新編排,
,
。
再積分,
,
。
代入初始條件
,
;
即可解得
,是連接兩點的一條線段。
另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得
取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。
另一個例子同樣是求定義在區間[a, b]上的實值函數y滿足y(a) = c與y(b) = d,並且沿着y所定義的曲線的道路長度最短。
![{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b79f3f5ead0dbe80a1565f6eeea5dd7a0fbc7a)
被積函數為
![{\displaystyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe01e3c3dbc6dac17baf786db259ac40fb8f860)
L的偏導數為
![{\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5868fced841fb0fda9112ac5cc2f46195ece22)
以及
![{\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d58ea2c33cf83f690d6e8c75e5d63e7a299081)
把上面兩式代入歐拉-拉格朗日方程式,可以得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42ba9e682f7a158ef9e766787654a756d1a2451)
也就是說,該函數的一階導數必須為常值,因此其圖像為直線。
- Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.