截角四面體

截角四面體圖
截角四面體圖
	3倍對稱
頂點	12
邊	18
半徑	3
直徑	3
圍長	3
自同構群	24 (S4)
色數	3
色指數	3
屬性	Hamiltonian, regular, 3-vertex-connected, planar graph
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截角四面體
	; (按這裏觀看旋轉模型)
類別	半正多面體
對偶多面體	三角化四面體
識別
名稱	截角四面體
參考索引	U02, C16, W6
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tut
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	t{3,3}; h2{4,3}
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	2 3 \| 3
康威表示法	tT
性質
面	8
邊	18
頂點	12
歐拉特徵數	F=8, E=18, V=12 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	正三角形; 正六邊形
面的佈局; （英語：Face configuration）	4個{3}; 4個{6}
頂點圖	3.6.6
對稱性
對稱群	Td群
特性
	-
圖像
	; 3.6.6; （頂點圖）
; 三角化四面體; （對偶多面體）	; （展開圖）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，截角四面體是一種半正八面體，13種阿基米德立體之一，共有8個面、18個邊和12個頂點，是三角化四面體的對偶多面體，可由四面體經過適當的截角，截去四面體的四個頂點所產生的多面體。

若進行更深的截角，甚至截到了中點，則稱為截半四面體，然而此種多面體與正八面體是等價的^[1]。

由於截角四面體具有六邊形與三角形的面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號計為G_III(1,1)。

此外，由於截角四面體可以由立方體透過斜截變換構成，即先交錯、再截角，因此，截角四面體又稱為斜截立方體或截角交錯立方體，在考克斯特符號（英語：Coxeter diagram）中計為，頂點數為小斜方截半立方體的一半，因此兩個截角四面體可以構成一個凸包為小斜方截半立方體的截角星形八面體，此種立體也稱為二複合截角四面體。^[2]

性質

截角四面體是半正多面體之一，由4個等邊三角形和4個正六邊形組成，有12個頂點和18條棱，可以想像為將正四面體的頂點切去。

座標

在直角坐標系中，將幾何中心位於原點邊長為 ${\sqrt {8}}$ 的四面體截角產生了12個頂點，以(±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) （其中每組坐標的±數目都是奇數個）為頂點，構成了一個截角四面體。12個頂點位置如下：

(+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
(−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
(−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
(+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)


正交投影顯示截角四面體可置於一個(±3,±3,±3)的邊框內。	截角四面體的六邊形面可分割為6共面的正三角形。其產生了四個新頂點 : (-1,-1,-1), (-1,+1,+1), (+1,-1,+1), (+1,+1,-1).	頂點(±1,±1,±3)的全排列產生了兩個互補的截角四面體，可將之結合成一個複合多面體，即截角星形八面體。

體積與表面積

邊長為 $a$ 的截角四面體，其表面積為 $7{\sqrt {3}}a^{2}$ ，體積為 ${\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}$ 。^[3]

A=7{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.12435565a^{2}

V={\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 2.710575995a^{3}.

交角

三角形與六邊形的交角:

\arccos {\frac {-1}{3}}

，約為109.47122063449069136924599933996°

六邊形與六邊形的交角:

\arccos {\frac {1}{3}}

，約為70.528779365509308630754000660038°

兩個六邊形的共線與三角形的交角:

\arccos {\frac {-1}{\sqrt {3}}}

，約為125.26438968275465431537700033002°

作法

將一個正四面體透過截角變換構造，即將正四面體的四個頂點切去就可以得到一個截角四面體。

正交投影

正交投影
中心	標準邊	標準面	邊	面/頂點
圖像
對偶圖像
投影對稱群	[1]	[1]	[3]	[4]

球面鑲嵌

平行投影	施萊格爾投影（英語：Schlegel diagram）
	以三角形為中心	以六邊形為中心