嵌射、蓋射與對射

在數學定義中，嵌射、蓋射和對射是指根據其定義域和對應域的關聯方式所區分的三類映射。

嵌射：指將不同的變量映射到不同的值的映射。
蓋射：指對應域等於值域的映射。即：對對應域中任意元素，都存在至少一個定義域中的元素與之對應。
對射（也稱一一對應或一一映射）：既是嵌射又是蓋射的映射。直觀地說，一個對射映射形成一個對應，並且每一個輸入值都有正好一個輸出值以及每一個輸出值都有正好一個輸入值。（在一些參考書中，「一一」用來指對射，但是這裏不用這個較老的用法。）

下圖對比了四種不同的情況：

嵌射（one to one 或 injection）

一個映射稱為嵌射（一對一）如果每個可能的像最多只有一個變量映射其上。等價的有，一個映射是嵌射如果它把不同值映射到不同像。一個嵌射映射簡稱嵌射。形式化的定義如下。

映射

f:A\to B

是嵌射當且僅當對於所有

a,b\in A

, 我們有

f(a)=f(b)\Rightarrow a=b.

一個映射 $f:A\to B$ 是嵌射當且僅當 $A$ 是空的或 $f$ 是左可逆的，也就是說，存在一個映射 $g:B\to A$ 使得 $g\circ f=A$ 上的恆等映射.
因為每個映射都是蓋射當它的對應域限制為它的值域時，每個嵌射導出一個到它的值域的對射。更精確的講，每個嵌射 $f:A\to B$ 可以分解為一個對射接着一個如下的包含映射。令 $f_{R}:A\to f(A)$ 為把對應域限制到像的 $i$ ，令 $i:f(A)\to B$ 為從 $f(A)$ 到 $B$ 中的包含映射.則 $f=i\circ f_{R}$ . 一個對偶的分解會對蓋射成立。
兩個嵌射的複合也是嵌射，但若 $f\circ g$ 是嵌射，只能得出 $g$ 是嵌射的結論。參看右圖。

一個映射稱為蓋射（到上）如果每個可能的像至少有一個變量映射其上，或者說對應域任何元素都有至少有一個變量與之對應。形式化的定義如下：

映射

f:A\to B

b\in B

，存在

a\in A

滿足

f(a)=b

。

映射 $f:X\rightarrow Y$ 為一個蓋射，當且僅當存在一個映射 $g:Y\rightarrow X$ 滿足 $f\circ g$ 等於 $Y$ 上的單位映射。（這個陳述等同於選擇公理。）
將一個蓋射的對應域中每個元素的原像集看作一個等價類，我們可以得到以該等價類組成的集合（原定義域的商集）為定義域的一個對射。
如果 $f$ 和 $g$ 皆為蓋射，則 $f\circ g$ 為蓋射。如果 $f\circ g$ 是蓋射，則僅能得出 $f$ 是蓋射。參見右圖。

既是嵌射又是蓋射的映射稱為對射. 映射為對射當且僅當每個可能的像有且僅有一個變量與之對應。

映射

f:A\to B

b\in B

存在唯一

a\in A

滿足

f(a)=b

。

如果 $X,Y$ 皆為實數 $\mathbb {R}$ ，則對射映射 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 可以被視覺化為兩根任意的水平直線只相交正好一次。（這是水平線測試的一個特例。）

對射映射經常被用於表明集合X和Y是等勢的，即有一樣的基數。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應，則說這兩個集合等勢。

如果 $X,Y$ 皆為有限集合，則這兩個集合中 $X,Y$ 之間存在一個對射，當且僅當X和Y的元素數相等。其實，在公理集合論中，元素數相同的定義被認為是個特例，一般化這個定義到無限集合需要導入基數的概念，這是一個區別各類不同大小的無限集合的方法。

對於每個映射給定定義域和對應域很重要，因為改變這些就能改變映射屬於什麼射。

任意集合上的恆等映射id為一對射。
考慮映射 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，定義為 $f(x)=2x+1$ 。這個映射是對射，因為給定任意一個實數 $y$ ，我們都能解 $y=2x+1$ ，得到唯一的實數解 $x=(y-1)/2$ 。
指數映射 $\exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ 及其逆映射自然對數 $\ln :\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}$ 。