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包絡定理

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包絡定理(Envelop Theorem)是帶參數的最佳化問題中的一個定理。這個定理的內容是,參數的值變動時,目標函數的變動只和參數的變動有關,而與自變量(因參數變動而引起)的變動無關。包絡定理在最佳化領域非常有用。

具體表述

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無約束的情形

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上的可微實函數,其中是自變量,是參數,目標是選擇適當的以最大化/最小化。設,其中取最大值/最小值時的,則包絡定理即

[1][2]

證明

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根據全微分公式有

因為取最值時必有的一階偏導數為零,即

故可得到

也即成立。

有約束的情形

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在無約束的情形下加上個同樣可微的實約束函數,則包絡定理變為

其中拉格朗日函數

證明過程與無約束時類似,只是取最值時變為

參考文獻

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  1. ^ Afriat, S. N. Theory of Maxima and the Method of Lagrange. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1971, 20 (3): 343–357. doi:10.1137/0120037. 
  2. ^ Takayama, Akira. Mathematical Economics Second. New York: Cambridge University Press. 1985: 137–138 [2018-11-10]. ISBN 0-521-31498-4. (原始內容存檔於2017-02-22). 

參見

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