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分數微積分

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數學上,分數微積分(fractional calculus)數學分析的一個分支,它研究微分算子和積分算子J實數次冪的可能應用(通常不寫作I,以避免和其他I形符號產生混淆)。

在這個上下文中,指反覆應用,和

中的平方意義相同。例如,可以提出如何解釋如下符號的問題

作為微分算子的平方根(半次操作),也就是一種算子操作兩次以後可以有微分的效果。

更一般的,

對於實數值的n,使得當n為整數時,若n>0,它等同於通常的冪n次操作,當n<0,它等同於n次積分J

討論這個問題有幾個原因。一個是,這樣冪Dn組成的半群可以看作一個連續的半群中取離散值的部分。連續半群在數學上有很好的研究,有一個有趣的理論。注意,分數是個錯誤的記號,因為指數可以取非有理數,但是分數微積分已成為習慣用法。

歷史緣由

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應用數學數學分析中,一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年,萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中,其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子,以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的,奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展,許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

試探法

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一個很自然的想法是問,是否存在一個算子起到半導數的作用,即使得:

結論是:這樣的算子是存在的,對於任意,存在一個算子,滿足:

或者換一個說法, 的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n.

在這裏我們引入Γ函數將階乘擴展到實數和複數域上. Γ函數的定義如下:

假設對函數 在0到x上求積分,我們可以形式的定義積分算子J:

重複這個過程,可得:

,

這個過程可以任意的重複下去。

利用重複積分的柯西公式,即:

我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分算子。

直接利用函數將離散的階乘擴展為連續的函數。我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式

這個算子定義明確而且具有良好的性質。

可以證明J算子滿足如下關係

這個性質叫微分積分算符的半群性。然而用類似方法定義微分算子將變得相當困難,而且定義出來的微分算子D一般來說不對易也不具有疊加性。

分數微分在一個簡單函數上的應用

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函數(藍色線條)的半導數(紫色線條)以及一階導數(紅色線條)
這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在y=x(藍色),結果(綠色)在一般的積分(α=−1: y=x2/2,紫色)及一般的一次微分(α=+1: y=1,紅色)間連續變化。

假設有一個函數

。它的一階導數一般是:
。重複這一過程,得到更一般的結果:
,將階乘伽瑪函數替換,可得:
。當k = 1,並且a = 1/2時我們可以得到函數的半導數:
。重複這一過程,得:
,這正是期望的結果:

以上微分算子的擴展不僅僅局限於實數次。舉個例子,階導數作用後,階導數再作用,可以得到二階導數。同時如果a為負則可為求積分。

分數微分可以得到上述相同的結果(當)。

對於任意的,由於伽瑪函數的參數在實數部為負整數時沒有定義,需要在分數微分前先進行整數微分。例如

拉普拉斯變換

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我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知

以及

然後繼續下去,我們可以推斷:

舉例來說:

如同預期一樣。的確,我們給出捲積性質。

然後為了方便,令 p(x) = xα − 1 ,我們發現到:

即得到柯西所給出的樣子。

拉普拉斯在一些較少的函數上有效,但是它在解分數微分方程上卻非常有用。

分數階積分

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分數階微分

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應用

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WKB近似

對於一個一維的量子系統進行准經典的近似時,系統哈密頓量的倒數可由對態密度的半階微分求出

這裏採用了自然單位制,即[1]

相關條目

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參考文獻

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  1. ^ Fractional Calculus. An Introduction for Physicists, by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore;(2014)ISBN 978-981-4551-09-0http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934)頁面存檔備份,存於互聯網檔案館

外部連結

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