λ演算

λ演算（英語：lambda calculus，λ-calculus）是一套從數學邏輯中發展，以變數綁定和替換的規則，來研究函數如何抽象化定義、函數如何被應用以及遞歸的形式系統。它由數學家阿隆佐·邱奇在20世紀30年代首次發表。lambda演算作為一種廣泛用途的計算模型，可以清晰地定義什麼是一個可計算函數，而任何可計算函數都能以這種形式表達和求值，它能模擬單一磁帶圖靈機的計算過程；儘管如此，lambda演算強調的是變換規則的運用，而非實現它們的具體機器。

lambda演算可比擬是最根本的程式語言，它包括了一條變換規則（變數替換）和一條將函數抽象化定義的方式。因此普遍公認是一種更接近軟件而非硬件的方式。對函數式程式語言造成很大影響，比如Lisp、ML語言和Haskell語言。在1936年邱奇利用λ演算給出了對於判定性問題（Entscheidungsproblem）的否定：關於兩個lambda運算式是否等價的命題，無法由一個「通用的演算法」判斷，這是不可判定效能夠證明的頭一個問題，甚至還在停機問題之先。

lambda演算包括了建構lambda項，和對lambda項執行歸約的操作。在最簡單的lambda演算中，只使用以下的規則來建構lambda項：

語法	名稱	描述
x	變數	用字元或字串來表示參數或者數學上的值或者表示邏輯上的值
(λx.M)	抽象化	一個完整的函數定義（M是一個 lambda 項），在表達式中的 x 都會綁定為變數 x。
(M N)	應用	將函數M作用於參數N。 M 和 N 是 lambda 項。

產生了諸如：(λx.λy.(λz.(λx.zx)(λy.zy))(x y))的表達式。如果表達式是明確而沒有歧義的，則括號可以省略。對於某些應用，其中可能包括了邏輯和數學的常數以及相關操作。

本文討論的是邱奇的「無類型lambda演算」，此後，已經研究出來了一些有類型lambda演算。

解釋與應用

λ演算是圖靈完備的，也就是說，這是一個可以用於模擬任何圖靈機的通用模型。^[1] λ也被用在λ表達式和λ項中，用來表示將一個變數繫結在一個函數上。

λ演算可以是有類型或者無類型的，在有類型λ演算中（上文所述是無類型的），函數只能在參數類型和輸入類型符合時被應用。有類型λ演算比無類型λ演算要弱——後者是這個條目的主要部分——因為有類型的λ運算能表達的比無類型λ演算少；與此同時，前者使得更多定理能被證明。例如，在簡單類型λ演算中，運算總是能夠停止，然而無類型λ演算中這是不一定的（因為停機問題）。目前有許多種有類型λ演算的一個原因是它們被期望能做到更多（做到某些以前的有類型λ演算做不到的）的同時又希望能用以證明更多定理。

λ演算在數學、哲學^[2]、語言學^[3]^[4]和電腦科學^[5]中都有許多應用。它在程式語言理論中佔有重要地位，函數式程式設計實現了λ演算支援。λ演算在範疇論中也是一個研究熱點。^[6]

歷史

作為對數學基礎研究的一部分，數學家阿隆佐·邱奇在20世紀30年代提出了λ演算。^[7]^[8] 但最初的λ演算系統被證明是邏輯上不自洽的——在1935年斯蒂芬·科爾·克萊尼和J. B. Rosser舉出了Kleene-Rosser悖論（英語：Kleene–Rosser paradox）。^[9]^[10]

隨後，在1936年邱奇把那個版本的關於計算的部分抽出獨立發表—現在這被稱為無類型λ演算。^[11] 在1940年，他創立了一個計算能力更弱但是邏輯上自洽的系統，這被稱為簡單類型λ演算。^[12]

直到1960年，λ演算與程式語言的關係被確立了；在這之前它只是一個範式。由於理查德·蒙塔古和其他語言學家將λ演算應用於自然語言語法的研究，λ演算已經開始在語言學^[13]和電腦科學學界擁有一席之地。^[14]

至於為何邱奇選擇λ作為符號，連他本人的解釋也互相矛盾：最初是在1964年的一封信中，他明確解釋稱這是來源於《數學原理》一書中的類抽象符號（脫字元），為了方便閱讀，他首先將其換成邏輯與符號（ $\land$ ）作為區分，然後又改成形狀類似的λ。他在1984年又重申了這一點，但再後來他又表示選擇λ純粹是偶然^[15]。

非形式化的直覺描述

在λ演算中，每個表達式都代表一個函數，這個函數有一個參數，並且會返回一個值。不論是參數和返回值，也都是一個單參的函數。可以這麼說，λ演算中只有一種「類型」，那就是這種一元函式。函數是通過λ表達式匿名地定義的，這個表達式說明了此函數將對其參數進行什麼操作。

例如，「加2」函數f(x)= x + 2可以用lambda演算表示為λx.x + 2（或者λy.y + 2，參數的取名無關緊要），而f(3)的值可以寫作(λx.x + 2) 3。函數的應用（application）是左結合的：f x y =(f x) y。

考慮這麼一個函數：它把一個函數作為參數，這個函數將被作用在3上：λf.f 3。如果把這個（用函數作參數的）函數作用於我們先前的「加2」函數上：(λf.f 3)(λx.x+2)，則明顯地，下述三個表達式：

(λf.f 3)(λx.x+2) 與 (λx.x + 2) 3 與 3 + 2

是等價的。有兩個參數的函數可以通過lambda演算這樣表達：一個單一參數的函數，它的返回值又是一個單一參數的函數（參見柯里化）。例如，函數f(x, y) = x - y可以寫作λx.λy.x - y。下述三個表達式：

(λx.λy.x - y) 7 2 與 (λy.7 - y) 2 與 7 - 2

也是等價的。然而這種lambda表達式之間的等價性，無法找到某個通用的函數來判定。

並非所有的lambda表達式都能被歸約至上述那樣的確定值，考慮

(λx.x x)(λx.x x)

或

(λx.x x x)(λx.x x x)

然後試圖把第一個函數作用在它的參數上。(λx.x x)被稱為ω 組合子，((λx.x x)(λx.x x))被稱為Ω，而((λx.x x x) (λx.x x x))被稱為Ω₂，以此類推。若僅形式化函數作用的概念而不允許lambda表達式，就得到了組合子邏輯。

動機

在數學和電腦科學中，「可計算的」函數是基礎觀念。對於所謂的可計算性，λ-演算提供了一個簡單明確的語義，使計算的性質可以被形式化研究。λ-演算結合了兩種簡化方式，使得這個語義變得簡單。第一種簡化是不給予函數一個確定名稱，而「匿名」地對待它們。例如，兩數的平方和函數

\operatorname {square\_sum} (x,y)=x^{2}+y^{2}

可以用匿名的形式重新寫為：

(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}

（理解成一包含

x

和

y

的數組被對映到

{\textstyle x^{2}+y^{2}}

）

同樣地，

\operatorname {id} (x)=x

可以用匿名的形式重新寫為：

x\mapsto x

（即輸入是直接對應到它本身。）

第二個簡化是λ演算只使用單一個參數輸入的函數。如果普通函數需要兩個參數，例如 ${\textstyle \operatorname {square\_sum} }$ 函數，可轉成接受單一參數，傳給另一個函數中介，而中介函數也只接受一個參數，最後輸出結果。例如，

(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}

可以重新寫成：

x\mapsto (y\mapsto x^{2}+y^{2})

這是稱為柯里化的方法，將多參數的函數轉換成為多個中介函數的複合鏈，每個中介函數都只接受一個參數。將 ${\textstyle \operatorname {square\_sum} }$ 函數應用於參數(5,2)，直接產生結果

{\textstyle ((x,y)\mapsto x^{2}+y^{2})(5,2)}

{\textstyle =5^{2}+2^{2}}

{\textstyle =29}

,

而對於柯里化轉換版的評估，需要再多一步：

{\textstyle {\Bigl (}{\bigl (}x\mapsto (y\mapsto x^{2}+y^{2}){\bigr )}(5){\Bigr )}(2)}

{\textstyle =(y\mapsto 5^{2}+y^{2})(2)}

//在內層表達式中

x

的定義為

5

，這就像β-歸約一樣。

{\textstyle =5^{2}+2^{2}}

//

y

的定義為

2

，再次如同β-歸約。

{\textstyle =29}

得出相同結果。

lambda演算

lambda演算是由特定形式語法所組成的一種語言，一組轉換規則可操作其中的lambda項。這些轉換規則被看作是一個等式理論或者一個操作定義。如上節所述，lambda演算中的所有函數都是匿名的，它們沒有名稱，它們只接受一個輸入變數，柯里化用於實現有多個輸入變數的函數。

lambda項

lambda演算的語法將一些表達式定義為有效的lambda演算式，而某一些表達式無效，就像C程式語言中有些字串有效，有些則不是。有效的lambda演算式稱為「lambda項」。

以下三個規則給出了語法上有效的lambda項，如何建構的歸納定義：

變數 $x$ 本身就是一個有效的lambda項
如果 $t$ 是一個lambda項，而 $x$ 是一個變數，則 $(\lambda x.t)$ 是一個lambda項（稱為lambda抽象）；
如果 $t$ 和 $s$ 是lambda項，那麼 $(ts)$ 是一個lambda項（稱為應用）。

其它的都不是lambda項。因此，lambda項若且唯若可重複應用這三個規則取得時，才是有效的。一些括號根據某些規則可以省略。例如，最外面的括號通常不會寫入。

「lambda抽象」是指一個匿名函數的定義，它將單一輸入的 $\lambda x.t$ 替換成 $t$ 的表達式，所以產生了一個匿名函數，它採用 $x$ 的值並返回 $t$ 。例如， $\lambda x.x^{2}+2$ 是表示使用函數 $f(x)=x^{2}+2$ 作為 $t$ 項的一個lambda抽象。lambda抽象只是先「設置」了函數定義，還沒使用它。這個抽象在 $t$ 項中綁定了變數 $x$ 。一個應用 $ts$ 表示將函數 $t$ 應用在輸入 $s$ ，亦即對輸入 $s$ 使用函數 $t$ 產生 $t(s)$ 。

lambda演算中並沒有變數聲明的概念。如 $\lambda x.x+y$ （即 $f(x)=x+y$ ）的定義中，lambda演算將 $y$ 當作尚未定義的變數。lambda抽象 $\lambda x.x+y$ 在語法上是有效的，並表示將其輸入添加到未知 $y$ 的函數。

可用圓括弧對來消除歧義。例如， $\lambda x.((\lambda x.x)x)$ 和 $(\lambda x.(\lambda x.x))x$ 表示不同的項（儘管它們剛好化簡到相同值）。這裏第一個例子定義了一個包含子函數的抽象，並將子函數應用於x（先應用後傳回）的結果；而第二個例子定義了一個傳回任何輸入的函數，然後在應用過程中傳回對輸入為x的應用（返回函數然後應用）。

操作函數的函數

在lambda演算中，函數被認為是頭等物件，因此函數可以當作輸入，或作為其它函數的輸出返回。

例如， $\lambda x.x$ 表示對映到本身的函數， $x\mapsto x$ 和 $(\lambda x.x)y$ 表示將這個函數應用於 $y$ 。此外， $(\lambda x.y)$ 則表示無論輸入為何，始終返回 $y$ 值的常數函數 $x\mapsto y$ 。lambda演算中的函數應用是左結合的，因此 $stx$ 表示 $(st)x$ 。

有幾個「等價」和「化簡」的概念，允許將各個lambda項「縮減」為「相同」的lambda項。

α-等價

對於lambda項，等價的基本形式定義，是 $\alpha$ -等價。它捕捉了直覺概念，在lambda抽象中一個綁定變數的特別選擇（通常）並不重要。比如， $\lambda x.x$ 和 $\lambda y.y$ 是 $\alpha$ -等價的lambda項，它們都表示相同的函數（自對映函數）；但如 $x$ 和 $y$ 項則不是 $\alpha$ -等價的，因為它們並非以lambda抽象方式綁定的。在許多演示中，通常會確定 $\alpha$ -等價的lambda項。

為了能夠定義 $\beta$ -歸約，需要以下定義：

自由變數

所謂的自由變數是那些在lambda抽象不受到綁定的變數。表達式中的一組自由變數定義歸納如下：

$x$ 的自由變數就只是 $x$
$\lambda x.t$ 的自由變數集合，是在 $t$ 中移除了 $x$ 的自由變數集合。
$ts$ 的自由變數是 $t$ 的一組自由變數，與 $s$ 的一組自由變數，這兩項變數的並集。

例如，代表對映自身的 $\lambda x.x$ ，其中的lambda項沒有自由變數，但是在函數 $\lambda x.yx$ 中的lambda項，有一個自由變數 $y$ 。

避免捕獲的替換記法

假設 $t$ ， $s$ 和 $r$ 是lambda項，而 $x$ 和 $y$ 是變數。如果寫成 $t[x:=r]$ 是一種避免被捕獲的記法方式，表示在 $t$ 這個lambda項中，以 $r$ 來替換 $x$ 變數的值。這定義為：

$x[x:=r]=r$ ；
$y[x:=r]=y$ ，如果 $x\neq y$ ；
$(ts)[x:=r]=(t[x:=r])(s[x:=r])$ ；
$(\lambda x.t)[x:=r]=\lambda x.t$ ；
如果 $x\neq y$ 而且 $y$ 不在lambda項 $r$ 的自由變數中，則 $(\lambda y.t)[x:=r]=\lambda y.(t[x:=r])$ 。對於lambda項 $r$ ，變數 $y$ 被稱為是「新鮮」的。

例如， $(\lambda x.x)[y:=y]=\lambda x.(x[y:=y])=\lambda x.x$ 和 $((\lambda x.y)x)[x:=y]=((\lambda x.y)[x:=y])(x[x:=y])=(\lambda x.y)y$ 。

新鮮度條件（要求 $y$ 不在lambda項 $r$ 中的自由變數中）對於確保替換不會改變函數的意義很重要。例如，忽視新鮮度條件的替代： $(\lambda x.y)[y:=x]=\lambda x.(y[y:=x])=\lambda x.x$ 。此替換會將原本意義為常數函數的 $\lambda x.y$ ，轉換成意義為對映自身函數的 $\lambda x.x$ 。

一般來說，在無法滿足新鮮度條件的情況，可利用 $\alpha$ -重新命名使用一個合適的新變數來補救，切換回正確的替換概念；比如在 $(\lambda x.y)[y:=x]$ 中，使用一個新變數 $z$ 重新命名這個lambda抽象，獲取 $(\lambda z.y)[y:=x]=\lambda z.(y[y:=x])=\lambda z.x$ ，則替換就能保留原本函數的義涵。

β-歸約

β-歸約規定了形式如 $(\lambda x.t)s$ 的應用，可以化簡成 $t[x:=s]$ 項。符號記法 $(\lambda x.t)s\to t[x:=s]$ 用於表示 $(\lambda x.t)s$ 經過β-歸約轉換為 $t[x:=s]$ 。例如，對於每個 $s$ ，可轉換為 $(\lambda x.x)s\to x[x:=s]=s$ 。這表明 $\lambda x.x$ 實際上的應用是對映自身函數。同樣地， $(\lambda x.y)s\to y[x:=s]=y$ ，表明了 $\lambda x.y$ 是一個常數函數。

lambda演算可視為函數式程式語言的理想化版本，如Haskell或ML語言。在這種觀點下，β-歸約對應於一組計算步驟。這個步驟重複應用β-轉換，一直到沒有東西能再被化簡。在無型別lambda演算中，如本文所述，這個歸約過程可能無法終止，比如 $\Omega =(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$ ，是個特殊的lambda項。這裏 $(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)\to (xx)[x:=\lambda x.xx]=(x[x:=\lambda x.xx])(x[x:=\lambda x.xx])=(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$ 也就是說，該lambda項在一次β-歸約中化簡到本身，因此歸約過程將永遠不會終止。

無型別lambda演算的另一方面是它並不區分不同種類的資料。例如，需要編寫只針對數字操作的功能。然而，在無型別的lambda演算中，沒有辦法避免函數被應用於真值、字串或其它非數字物件。

形式化定義

形式化地，我們從一個識別碼（identifier）的可數無窮集合開始，比如{a, b, c, ..., x, y, z, x₁, x₂, ...}，則所有的lambda表達式可以通過下述以BNF範式表達的上下文無關文法描述：

<表達式> ::= <識別碼>
<表達式> ::= (λ<識別碼>.<表達式>)
<表達式> ::= (<表達式> <表達式>)

頭兩條規則用來生成函數，而第三條描述了函數是如何作用在參數上的。通常，lambda抽象（規則2）和函數作用（規則3）中的括弧在不會產生歧義的情況下可以省略。如下假定保證了不會產生歧義：（1）函數的作用是左結合的，和（2）lambda運算子被繫結到它後面的整個表達式。例如，表達式 (λx.x x)(λy.y) 可以簡寫成λ(x.x x) λy.y 。

類似λx.(x y)這樣的lambda表達式並未定義一個函數，因為變數y的出現是自由的，即它並沒有被繫結到表達式中的任何一個λ上。一個lambda表達式的自由變數的集合是通過下述規則（基於lambda表達式的結構歸納地）定義的：

在表達式V中，V是變數，則這個表達式里自由變數的集合只有V。
在表達式λV .E中（V是變數，E是另一個表達式），自由變數的集合是E中自由變數的集合減去變數V。因而，E中那些V被稱為繫結在λ上。
在表達式 (E E')中，自由變數的集合是E和E'中自由變數集合的併集。

例，對於表達式λx.x（我們將第一個x視作變數，第二個x視作表達式），其中表達式x中，由1，它的自由變數集合是x，又由2，表達式λx.x的自由變數的集合是表達式x的自由變數集合減去變數x。所以對於表達式λx.x，它的自由變數集合是空。
例，對於表達式λx.x x由形式化描述的第3點，我們把它看作((λx.x)(x))，(λx.x)和(x)分別為表達式，由上一例知道(λx.x)的自由變數集合為空，表達式(x)的變數集合為變數x，所以對於λx.x x，它的自由變數集合為x與空的並，即x。

在lambda表達式的集合上定義了一個等價關係(在此用==標註)，「兩個表達式其實表示的是同一個函數」這樣的直覺性判斷即由此表述，這種等價關係是通過所謂的「alpha-變換規則」和「beta-歸約規則」。

歸約

歸約的操作包括：

操作	名稱	描述
(λx.M[x]) → (λy.M[y])	α-轉換	重新命名表達式中的綁定（形式）變數。用於避免名稱衝突。
((λx.M) E) → (M[x:=E])	β-歸約	在抽象化的函數定義體中，以參數表達式代替綁定變數。

α-變換

Alpha-變換規則表達的是，被繫結變數的名稱是不重要的。比如說λx.x和λy.y是同一個函數。儘管如此，這條規則並非像它看起來這麼簡單，關於被繫結的變數能否由另一個替換有一系列的限制。

Alpha-變換規則陳述的是，若V與W均為變數，E是一個lambda表達式，同時E[V:=W]是指把表達式E中的所有的V的自由出現都替換為W，那麼在W不是 E中的一個自由出現，且如果W替換了V，W不會被E中的λ繫結的情況下，有

λV.E == λW.E[V:=W]

這條規則告訴我們，例如λx.(λx.x) x這樣的表達式和λy.(λx.x) y是一樣的。

β-歸約

Beta-歸約規則表達的是函數作用的概念。它陳述了若所有的E'的自由出現在E [V:=E']中仍然是自由的情況下，有

((λV.E) E') == E [V:=E']

成立。

==關係被定義為滿足上述兩條規則的最小等價關係（即在這個等價關係中減去任何一個對映，它將不再是一個等價關係）。

對上述等價關係的一個更具操作性的定義可以這樣獲得：只允許從左至右來應用規則。不允許任何beta歸約的lambda表達式被稱為Beta範式。並非所有的lambda表達式都存在與之等價的範式，若存在，則對於相同的形式參數命名而言是唯一的。此外，有一個演算法用戶計算範式，不斷地把最左邊的形式參數替換為實際參數，直到無法再作任何可能的規約為止。這個演算法若且唯若lambda表達式存在一個範式時才會停止。Church-Rosser定理說明了，若且唯若兩個表達式等價時，它們會在形式參數換名後得到同一個範式。

η-變換

前兩條規則之後，還可以加入第三條規則，eta-變換，來形成一個新的等價關係。Eta-變換表達的是外延性的概念，在這裏外延性指的是，對於任一給定的參數，若且唯若兩個函數得到的結果都一致，則它們將被視同為一個函數。Eta-變換可以令 $\lambda x.fx$ 和 $f$ 相互轉換，只要 $x$ 不是 $f$ 中的自由變數。下面說明了為何這條規則和外延性是等價的：

若 $f$ 與 $g$ 外延地等價，即， $fa==ga$ 對所有的 $\lambda$ 表達式 $a$ 成立，則當取 $a$ 為在 $f$ 中不是自由出現的變數 $x$ 時，我們有 $f(x)==g(x)$ ，因此 $\lambda x.fx==\lambda x.gx$ ，由eta-變換f == g。所以只要eta-變換是有效的，會得到外延性也是有效的。

相反地，若外延性是有效的，則由beta-歸約，對所有的y有(λx .f x) y == f y，可得λx .f x == f，即eta-變換也是有效的。

資料類型的編碼

基本的lambda演算法可用於建構布林值，算術，資料結構和遞歸的模型，如以下各小節所述。

lambda演算中的算術

在lambda演算中有許多方式都可以定義自然數，但最常見的還是邱奇數，下面是它們的定義：

0 = λf.λx.x
1 = λf.λx.f x
2 = λf.λx.f (f x)
3 = λf.λx.f (f (f x))

以此類推。直觀地說，lambda演算中的數字n就是一個把函數f作為參數並以f的n次冪為返回值的函數。換句話說，邱奇整數是一個高階函數 -- 以單一參數函數f為參數，返回另一個單一參數的函數。

(注意在邱奇原來的lambda演算中，lambda表達式的形式參數在函數體中至少出現一次，這使得我們無法像上面那樣定義0)在邱奇整數定義的基礎上，我們可以定義一個後繼函數，它以n為參數，返回n + 1：

SUCC = λn.λf.λx.f(n f x)

加法是這樣定義的：

PLUS = λm.λn.λf.λx.m f (n f x)

PLUS可以被看作以兩個自然數為參數的函數，它返回的也是一個自然數。你可以試試驗證

PLUS 2 3

與5是否等價。乘法可以這樣定義：

MULT = λm.λn.m (PLUS n) 0,

即m乘以n等於在零的基礎上m次加n。另一種方式是

MULT = λm.λn.λf.m (n f)

正整數n的前驅元（predecessesor）PRED n = n - 1要複雜一些：

PRED = λn.λf.λx.n (λg.λh.h (g f)) (λu.x) (λu.u)

或者

PRED = λn.n(λg.λk.(g 1) (λu.PLUS(g k) 1) k) (λl.0) 0

注意(g 1)(λu.PLUS(g k) 1) k表示的是，當g(1)是零時，表達式的值是k，否則是g(k)+ 1。

邏輯與謂詞

習慣上，下述兩個定義（稱為邱奇布林值）被用作TRUE和FALSE這樣的布林值：

TRUE := λx.λy.x

FALSE := λx.λy.y

(注意FALSE等價於前面定義邱奇數零)

接着，通過這兩個λ-項，我們可以定義一些邏輯運算：

AND := λp q.p q FALSE

OR := λp q.p TRUE q

NOT := λp.p FALSE TRUE

IFTHENELSE := λp x y.p x y

我們現在可以計算一些邏輯函數，比如：

AND TRUE FALSE

≡(λp q.p q FALSE) TRUE FALSE →_β TRUE FALSE FALSE

≡(λx y.x) FALSE FALSE →_β FALSE

我們見到AND TRUE FALSE等價於FALSE。

「謂詞」是指返回布林值的函數。最基本的一個謂詞是ISZERO，若且唯若其參數為零時返回真，否則返回假：

ISZERO := λn.n (λx.FALSE) TRUE

運用謂詞與上述TRUE和FALSE的定義，使得"if-then-else"這類陳述式很容易用lambda演算寫出。

有序對

有序對（2-元組）資料類型可以用TRUE、FALSE和IF來定義。

CONS := λx y.λp.IF p x y

CAR := λx.x TRUE

CDR := λx.x FALSE

鏈結串列資料類型可以定義為，要麼是為空串列保留的值（e.g.FALSE），要麼是CONS一個元素和一個更小的列表。

附加的編程技術

lambda演算出現在相當大量的編程習慣用法中，其中許多程式語言最初以lambda演算作為語義基礎，在此背景下開發的；有效地利用lambda演算作為基底。因為幾個程式語言部份含括了lambda演算（或者非常相似的東西），所以這些技術也可以在實際的編程中見到，但有可能被認為是模糊或外來的。

命名常數

在lambda演算中，函式庫將採用預先定義好的函數集合，其中lambda項僅僅是特定的常數。純粹的lambda演算法並不具有命名常數的概念，因為所有的原子λ項都是變數；但是在程式主體中，我們可將一個變數當成常數的名稱，利用lambda抽象把這個變數綁定，並將該lambda抽象應用於預期的定義，來模擬命名常數的作法。因此在N（「主程式」的另一個lambda項）中，要以f來表示M（一些明確的lambda項），則寫成如下：

(λf.N) M

作者經常引入類似如let的語法糖，允許以更直觀的次序撰寫上述內容：

let f = M in N

通過等號連結這個命名常數，即可將lambda演算「編程」的一個lambda項，寫為零或多個函數的定義，而使用構成程式主體的那些函數。這個let顯著的限制，是在M中並沒有定義f名稱，因為M不在綁定f的lambda抽象範疇之內；這意味着遞歸函數定義不能以let來使用M。更進步的letrec語法糖允許以直覺的方式編寫遞歸函數定義，而不需用到不動點組合子。

遞歸與不動點

遞歸是使用函數自身的函數定義；在表面上，lambda演算不允許這樣。但是這種印象是誤解。考慮個例子，階乘函數f(n)遞歸的定義為

f(n):= if n = 0 then 1 else n·f(n-1)。

在lambda演算中，你不能定義包含自身的函數。要避免這樣，你可以開始於定義一個函數，這裏叫g，它接受一個函數f作為參數並返回接受n作為參數的另一個函數：

g := λf n.(if n = 0 then 1 else n·f(n-1))。

函數g返回要麼常數1，要麼函數f對n-1的n次應用。使用ISZERO謂詞，和上面描述的布林和代數定義，函數g可以用lambda演算來定義。

但是，g自身仍然不是遞歸的；為了使用g來建立遞歸函數，作為參數傳遞給g的f函數必須有特殊的性質。也就是說，作為參數傳遞的f函數必須展開為呼叫帶有一個參數的函數g -- 並且這個參數必須再次f函數!

換句話說，f必須展開為g(f)。這個到g的呼叫將接着展開為上面的階乘函數並計算下至另一層遞歸。在這個展開中函數f將再次出現，並將被再次展開為g(f)並繼續遞歸。這種函數，這裏的f = g(f)，叫做g的不動點，並且它可以在lambda演算中使用叫做悖論算子或不動點算子來實現，它被表示為Y -- Y組合子：

Y = λg.(λx.g(x x))(λx.g(x x))

在lambda演算中，Y g是g的不動點，因為它展開為g(Y g)。現在，要完成我們對階乘函數的遞歸呼叫，我們可以簡單的呼叫 g(Y g)n，這裏的n是我們要計算它的階乘的數。

比如假定n = 5，它展開為：

(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1)))) 5

if 5 = 0 then 1 else 5·(g(Y g，5-1))

5·(g(Y g)4)

5·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 4)

5·(if 4 = 0 then 1 else 4·(g(Y g，4-1)))

5·(4·(g(Y g)3))

5·(4·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 3))

5·(4·(if 3 = 0 then 1 else 3·(g(Y g，3-1))))

5·(4·(3·(g(Y g)2)))

...

等等，遞歸的求值演算法的結構。所有遞歸定義的函數都可以看作某個其他適當的函數的不動點，因此，使用Y所有遞歸定義的函數都可以表達為lambda表達式。特別是，我們現在可以明晰的遞歸定義自然數的減法、乘法和比較謂詞。

標準化的組合子名稱

某一些lambda項有普遍接受的名稱：

I := λx.x

K := λx.λy.x

S := λx.λy.λz.x z (y z)

B := λx.λy.λz.x (y z)

C := λx.λy.λz.x z y

W := λx.λy.x y y

U := λx.λy.y (x x y)

ω := λx.x x

Ω := ω ω

Y := λg.(λx.g (x x)) (λx.g (x x))

其中有幾個在「消除lambda抽象」中有直接的應用，將lambda項變為組合演算的術語。

消除lambda抽象

如果N是一個沒有λ-抽象的lambda項，但可能包含了命名常數（組合子），則存在一個lambda項T(x,N)，這相同於一個缺少λ-抽象（除了作為命名常數的一部份，如果這些被認為是非原子的）的λx.N；也可以被視為匿名變數，就如同T(x,N)從N之中刪除所有出現的x，同時仍然允許在N包含x的位置替換參數值。

轉換函數T可由下式定義：

T(x, x) := I

T(x, N) := K N if x is not free in N.

T(x, M N) := S T(x, M) T(x, N)

在這兩種情況下，形式T(x,N)P可藉由使初始的組合子I，K或S獲取參數P而化簡，就像(λx.N) P經過β-歸約一樣。I返回那個參數。K則將參數拋棄，就像(λx.N)，如果x在N中不是以自由變數出現。S將參數傳遞給應用程式的兩個子句，然後將第一個結果應用到第二個的結果之上。

組合子B和C類似於S，但把參數傳遞給應用的一個子項（B傳給「參數」子項，而C傳給「函數」子項），如果子項中沒有出現x，則儲存後續的K。與B和C相比，S組合子實際上混合了兩個功能：重新排列參數，並複製一個參數，以便它可以在兩個地方使用。W組合子只做後者，產生了SKI組合子演算的B，C，K，W系統。

可計算函數和lambda演算

自然數的函數F: N → N是可計算函數，若且唯若存在着一個lambda表達式f，使得對於N中的每對x, y都有F(x) = y若且唯若f x == y，這裏的x和y分別是對應於x和y的邱奇數。這是定義可計算性的多種方式之一；關於其他方式和它們的等價者的討論請參見邱奇-圖靈論題。

lambda演算與程式語言

匿名函數

比如計算平方的函數 square 在 Lisp 中可以表示為如下的 lambda 表達式

(lambda (x) (* x x))

符號 lambda 建立一個匿名函數，給定參數列 (x) ，以及一個作為函數體的表達式 (* x x)。匿名函數有時稱為 lambda 表達式。

很多命令式語言都有函數指標或者類似的機制。但是函數指標並不是類型中的一等公民，函數是一等公民若且唯若函數可以在執行時建立。下面一些語言支援函數的執行時建立： Smalltalk、 JavaScript、 Kotlin、 Scala、 Python3、 C# ("delegates")、 C++11等。

化簡策略

關於複雜度的註釋

並行與並發

參見

參考文獻

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^ For a full history, see Cardone and Hindley's "History of Lambda-calculus and Combinatory Logic" (2006).
^ Kleene, S. C.; Rosser, J. B. The Inconsistency of Certain Formal Logics. The Annals of Mathematics. July 1935, 36 (3): 630. doi:10.2307/1968646.
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^ Church, A. An unsolvable problem of elementary number theory. American Journal of Mathematics. 1936, 58 (2): 345–363. JSTOR 2371045. doi:10.2307/2371045.
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^ Alama, Jesse "The Lambda Calculus" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2013 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
^ Cardon, Felice; Hindley, J. Roger. History of Lambda-calculus and Combinatory Logic. 2006.

外部連結

L.Allison, Some executable λ-calculus examples （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Georg P.Loczewski, The Lambda Calculus and A++ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
To Dissect a Mockingbird: A Graphical Notation for the Lambda Calculus with Animated Reduction
人物介紹
神奇的λ演算（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
(譯) The Y combinator (Slight Return)
Λ運算︰淵源介紹（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[1] Turing, A. M. Computability and λ-Definability. The Journal of Symbolic Logic. December 1937, 2 (4): 153–163. JSTOR 2268280. doi:10.2307/2268280.

[2] Coquand, Thierry, "Type Theory" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2013 Edition), Edward N. Zalta (ed.).

[3] Moortgat, Michael. Categorial Investigations: Logical and Linguistic Aspects of the Lambek Calculus. Foris Publications. 1988. ISBN 9789067653879.

[4] Bunt, Harry; Muskens, Reinhard (編), Computing Meaning, Springer, 2008, ISBN 9781402059575

[5] Mitchell, John C., Concepts in Programming Languages, Cambridge University Press: 57, 2003, ISBN 9780521780988

[6] Pierce, Benjamin C. Basic Category Theory for Computer Scientists. : 53.

[7] Church, A. A set of postulates for the foundation of logic. Annals of Mathematics. Series 2. 1932, 33 (2): 346–366. JSTOR 1968337. doi:10.2307/1968337.

[8] For a full history, see Cardone and Hindley's "History of Lambda-calculus and Combinatory Logic" (2006).

[9] Kleene, S. C.; Rosser, J. B. The Inconsistency of Certain Formal Logics. The Annals of Mathematics. July 1935, 36 (3): 630. doi:10.2307/1968646.

[10] Church, Alonzo. Review of Haskell B. Curry, The Inconsistency of Certain Formal Logics. The Journal of Symbolic Logic. December 1942, 7 (4): 170–171. JSTOR 2268117. doi:10.2307/2268117.

[Church1936-11] Church, A. An unsolvable problem of elementary number theory. American Journal of Mathematics. 1936, 58 (2): 345–363. JSTOR 2371045. doi:10.2307/2371045.

[12] Church, A. A Formulation of the Simple Theory of Types. Journal of Symbolic Logic. 1940, 5 (2): 56–68. JSTOR 2266170. doi:10.2307/2266170.

[mm-linguistics-13] Partee, B. B. H.; ter Meulen, A.; Wall, R. E. Mathematical Methods in Linguistics. Springer. 1990 [29 Dec 2016].

[14] Alama, Jesse "The Lambda Calculus" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2013 Edition), Edward N. Zalta (ed.).

[15] Cardon, Felice; Hindley, J. Roger. History of Lambda-calculus and Combinatory Logic. 2006.

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各種函數
$x \mapsto f (x)$
不同定義域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英語：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英語：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英語：function of several real variables） $X$ $X$ →（英語：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英語：Function of several complex variables） $X$
函數類/性質
常值恆等線性多項式有理代數解析光滑連續可測單射滿射雙射
構造
限制複合 λ 逆
推廣
偏（英語：Partial function）多值隱
閱論編