Hinge loss

t = 1 時變量 y（水平方向）的鉸鏈損失（藍色，垂直方向）與0/1損失（垂直方向；綠色為 y < 0 ，即分類錯誤）。注意鉸接損失在 abs(y) < 1 時也會給出懲罰，對應於支持向量機中間隔的概念。

在機器學習中，鉸鏈損失是一個用於訓練分類器的損失函數。鉸鏈損失被用於「最大間格分類」，因此非常適合用於支持向量機 (SVM)。 對於一個預期輸出 $t={\pm }1$，分類結果 $y$ 的鉸鏈損失定義為

$\ell (y)=\max(0,1-t\cdot y)$

特別注意：以上式子的$y$應該使用分類器的「原始輸出」，而非預測標籤。例如，在線性支持向量機當中，$y=\mathbf {w} \cdot \mathbf {x} +b$，其中 $(\mathbf {w} ,b)$ 是超平面參數，$\mathbf {x}$是輸入資料點。

當$t$和$y$同號（意即分類器的輸出$y$是正確的分類），且 $|y|\geq 1$時，鉸鏈損失 $\ell (y)=0$。但是，當它們異號（意即分類器的輸出$y$是錯誤的分類）時，$\ell (y)$ 隨 $y$ 線性增長。套用相似的想法，如果 $|y|<1$，即使 $t$ 和 $y$ 同號（意即分類器的分類正確，但是間隔不足），此時仍然會有損失。

擴展

二元支持向量機經常通過一對多（winner-takes-all strategy，WTA SVM）或一對一（max-wins voting，MWV SVM）策略來擴展為多元分類， 鉸接損失也可以做出類似的擴展，已有數個不同的多元分類鉸接損失的變體被提出。 例如，Crammer 和 Singer 將一個多元線性分類的鉸鏈損失定義為

$\ell (y)=\max(0,1+\max _{y\neq t}\mathbf {w} _{y}\mathbf {x} -\mathbf {w} _{t}\mathbf {x} )$

其中 $t$ 為目的標籤， $\mathbf {w} _{t}$ 和 $\mathbf {w} _{y}$ 該模型的參數。

Weston 和 Watkins 提出了一個類似的定義，但使用求和代替了最大值：

$\ell (y)=\sum _{y\neq t}\max(0,1+\mathbf {w} _{y}\mathbf {x} -\mathbf {w} _{t}\mathbf {x} )$

在結構預測中，鉸接損失可以進一步擴展到結構化輸出空間。支持間隔調整的結構化支持向量機 可以使用如下所示的鉸鏈損失變體，其中 w 表示SVM的參數， y 為SVM的預測結果，φ 為聯合特徵函數，Δ 為漢明損失:

${\begin{aligned}\ell (\mathbf {y} )&=\max(0,\Delta (\mathbf {y} ,\mathbf {t} )+\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\rangle -\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\rangle )\\&=\max(0,\max _{y\in {\mathcal {Y}}}\left(\Delta (\mathbf {y} ,\mathbf {t} )+\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\rangle \right)-\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\rangle )\end{aligned}}$

優化算法

鉸鏈損失是一種凸函數，因此許多機器學習中常用的凸優化器均可用於優化鉸鏈損失。 它不是可微函數，但擁有一個關於線性 SVM 模型參數 w 的次導數

${\frac {\partial \ell }{\partial w_{i}}}={\begin{cases}-t\cdot x_{i}&{\text{if }}t\cdot y<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

其評分函數為 $y=\mathbf {w} \cdot \mathbf {x}$

三個鉸鏈損失的變體 z = ty：「普通變體」（藍色），平方變體（綠色），以及 Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑變體（紅色）。

然而，由於鉸接損失在 $ty=1$處不可導， Zhang 建議在優化時可使用平滑的變體建議， 如Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑

$\ell (y)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}-ty&{\text{if}}~~ty\leq 0,\\{\frac {1}{2}}(1-ty)^{2}&{\text{if}}~~0<ty\leq 1,\\0&{\text{if}}~~1\leq ty\end{cases}}$

或平方平滑。

$\ell _{\gamma }(y)={\begin{cases}{\frac {1}{2\gamma }}\max(0,1-ty)^{2}&{\text{if}}~~ty\geq 1-\gamma \\1-{\frac {\gamma }{2}}-ty&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Modified Huber loss $L$是$\gamma =2$時損失函數的特例，此時 $L(t,y)=4\ell _{2}(y)$中。