扭計骰群

扭計骰的所有可能重新排列形成一個群，叫做扭計骰群。

在數學中，扭計骰群是一個群 (G,·) 對應於集合G的所有扭計骰塊正常轉動可能形成的所有情形. 從完好扭計骰從發到任一種狀態所經歷的操作, 都與群元有一一對應的關係. .

對於一個3階標準扭計骰, 除去中心塊外一共有48個色塊, 因此一個扭計骰狀態可以由1-48的某種排列表示, 但由於扭計骰本身的幾何結構約束, 並不是所有的序號排列都是合法的扭計骰狀態. 在這種表示下, 對扭計骰的一個操作可以表示成一個置換. 因此, 3階扭計骰群是置換群$S_{48}$的子群, 並滿足和置換群相同的運算規則.

和置換群相同, 扭計骰群是一個非阿貝爾群, 對扭計骰的操作不滿足交換律.

扭計骰操作

一個3階扭計骰包含$6$個面, 其中每個面有$9$個色塊. 對扭計骰的一次原子級操作是將其中的某一個面順時針旋轉$90^{\circ }$, 分別記為$\{\mathbf {F} ,\mathbf {B} ,\mathbf {L} ,\mathbf {R} ,\mathbf {U} ,\mathbf {D} \}$. 以右側面為例, 逆時針旋轉可以被記為$\mathbf {R} ^{3}$, 通常簡記為$\mathbf {R} '$. 特別指出, 不對扭計骰進行任何操作的操作被記為$\mathbf {E}$, 是3階扭計骰群的單位元.

同構

扭計骰群共有$43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!={\frac {12!}{2}}\cdot 2^{12-1}\cdot 8!\cdot 3^{8-1}$個元素，與下方此群同構，當中$A_{n}$為交錯群，$\mathbb {Z} _{n}$為循環群：

$(\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).$

參考條目

• 旋轉方塊